Каковы длины сторон треугольника, если вы знаете, что в треугольнике АВС проведена биссектриса АД, которая равна 12,5

Для решения данной задачи нам понадобится использовать теорему синусов, которая гласит: в треугольнике отношение длин сторон к синусам их противолежащих углов равно одной и той же величине.

Применим эту теорему к нашей задаче:
\[\frac{{AB}}{{\sin(\angle BAD)}} = \frac{{BD}}{{\sin(\angle BAD)}}\]
Так как биссектриса является лучом, делящим угол на две равные части, угол BAD будет равен половине угла A:
\[\angle BAD = \frac{\angle A}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ\]

Подставим известные значения в уравнение и решим его:
\[\frac{{AB}}{{\sin(60^\circ)}} = \frac{{BD}}{{\sin(60^\circ)}}\]
Так как синус 60 градусов равен \(\sqrt{\frac{3}{2}}\), получаем:
\[\frac{{AB}}{{\sqrt{\frac{3}{2}}}} = \frac{{BD}}{{\sqrt{\frac{3}{2}}}}\]
Сократим стороны уравнения и перепишем его:
\[\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{\sqrt{\frac{3}{2}}}}{{\sqrt{\frac{3}{2}}}}\]
\[\frac{{AB}}{{BD}} = 1\]

Таким образом, мы видим, что длина стороны AB равна длине стороны BD.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. У нас есть две известные стороны: сторона AD, которая равна 12,5 см, и сторона BD, которая равна AB.

Мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти длину стороны AB (или BD):
\[AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos(\angle ADB)\]
Так как угол ADB является суммой углов BAD и BDA, и у нас уже есть значения для угла BAD (60 градусов), длины сторон AD (12,5 см) и BD (AB), мы можем решить уравнение:
\[AB^2 = 12,5^2 + AB^2 - 2 \cdot 12,5 \cdot AB \cdot \cos(\angle ADB)\]
\[0 = 12,5^2 - 2 \cdot 12,5 \cdot AB \cdot \cos(\angle ADB)\]
\[-12,5^2 = - 2 \cdot 12,5 \cdot AB \cdot \cos(\angle ADB)\]
\[12,5 \cdot AB \cdot \cos(\angle ADB) = 12,5^2\]
\[\cos(\angle ADB) = \frac{{12,5}}{{AB}}\]
\[AB = \frac{{12,5}}{{\cos(\angle ADB)}}\]
\[AB = \frac{{12,5}}{{\cos(60^\circ)}}\]

Так как \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), получаем:
\[AB = \frac{{12,5}}{{\frac{1}{2}}} = 2 \cdot 12,5 = 25\]

Таким образом, длина стороны AB (или BD) равна 25 см.

В итоге, стороны треугольника равны: AB = BD = 25 см, АС = 20 см.