Каковы длины сторон равнобедренного треугольника, площадь которого максимальна, если его периметр равен

Для решения этой задачи нам понадобится использовать некоторые математические концепции и формулы. Давайте начнем!

Периметр равнобедренного треугольника выражается следующей формулой:

\[P = 2a + b\]

где \(P\) - периметр, \(a\) - длина равных сторон, \(b\) - основание треугольника.

Для нахождения максимальной площади треугольника мы будем использовать формулу Герона:

\[S = \sqrt{s(s-a)(s-a)(s-b)}\]

где \(S\) - площадь треугольника, а \(s\) - полупериметр, который выражается следующим образом:

\[s = \frac{2a + b}{2} = a + \frac{b}{2}\]

Теперь мы можем начать решение задачи.

Шаг 1: Выразим \(b\) через \(a\) и \(P\):

\[b = P - 2a\]

Шаг 2: Подставим это выражение для \(b\) в формулу для полупериметра:

\[s = a + \frac{P - 2a}{2}\]

Шаг 3: Подставим выражение для \(s\) в формулу площади:

\[S = \sqrt{(a + \frac{P - 2a}{2})(a + \frac{P - 2a}{2}-a)(a + \frac{P - 2a}{2}-a)(P - 2a)}\]

Шаг 4: Облегчим выражение, объединяя подобные члены:

\[S = \sqrt{(a + \frac{P - 2a}{2})(\frac{P - 2a}{2})(\frac{P - 2a}{2})(P - 2a)}\]

Шаг 5: Упростим и приведем выражение к квадратному корню:

\[S = \sqrt{\frac{(P - 2a)^2}{4}(\frac{P - 2a}{2})(P - 2a)}\]

Шаг 6: Уберем корень и получим квадрат площади для облегчения дальнейших вычислений:

\[S^2 = \frac{(P - 2a)^2}{4}(\frac{P - 2a}{2})(P - 2a)\]

Шаг 7: Упростим полученное выражение:

\[S^2 = \frac{(P - 2a)^3}{16}\]

Шаг 8: Продифференцируем полученное выражение \(S^2\) по \(a\):

\[\frac{d(S^2)}{da} = \frac{d}{da}\left(\frac{(P - 2a)^3}{16}\right)\]

Шаг 9: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[\frac{d(S^2)}{da} = 0\]

Шаг 10: Решим уравнение для \(a\):

\[\frac{d}{da}\left(\frac{(P - 2a)^3}{16}\right) = 0\]

Шаг 11: Упростим это уравнение:

\[\frac{-6(P - 2a)^2}{16} = 0\]

Шаг 12: Решим это уравнение для \(a\):

\[(P - 2a)^2 = 0\]

Шаг 13: Извлечем корень:

\[P - 2a = 0\]
\[P = 2a\]

Шаг 14: Вспомним ограничение задачи, что периметр равен сумме длин всех трех сторон:

\[2a + a = P\]
\[3a = P\]
\[a = \frac{P}{3}\]

Таким образом, мы узнали, что длина каждой из равных сторон равнобедренного треугольника, площадь которого максимальна при заданном периметре \(P\), равна \(a = \frac{P}{3}\).

Длина основания треугольника будет составлять:

\[b = P - 2a = P - 2\left(\frac{P}{3}\right) = \frac{P}{3}\]

Таким образом, все стороны равнобедренного треугольника будут иметь одинаковую длину и равняться \(\frac{P}{3}\).