Каковы длины сторон прямоугольного треугольника, если его периметр составляет 90 см, а его площадь равна 270 см^2?

Хорошо! Давайте решим эту задачу.

Пусть \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон прямоугольного треугольника. Мы знаем, что периметр треугольника равен 90 см, то есть \(a + b + c = 90\) (уравнение 1). Мы также знаем, что площадь треугольника равна 270 см^2, что можно выразить через формулу для площади прямоугольного треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 270\) (уравнение 2).

Для того, чтобы решить эту систему уравнений, мы можем использовать метод подстановки или метод сложения. Давайте воспользуемся методом сложения.

Умножим уравнение 2 на 2, чтобы избавиться от 1/2 перед \(a \cdot b\). Получим \(2ab = 540\) (уравнение 3).

Теперь сложим уравнение 1 с уравнением 3:
\[
(a + b + c) + (2ab) = 90 + 540
\]
\[
a + b + c + 2ab = 630
\]

Мы получили новое уравнение, которое может помочь нам найти значения \(a\), \(b\) и \(c\).

Теперь воспользуемся информацией о том, что треугольник прямоугольный. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В нашем случае, катетами являются стороны \(a\) и \(b\), а гипотенузой - сторона \(c\). Таким образом, у нас есть еще одно уравнение:
\[
a^2 + b^2 = c^2 \quad (уравнение 4)
\]

Теперь у нас есть система из трех уравнений:
\[
\begin{align*}
a + b + c &= 90 \\
2ab &= 540 \\
a^2 + b^2 &= c^2
\end{align*}
\]

Мы можем решить эту систему уравнений, подставив значения \(a\), \(b\) и \(c\) в формулу и проверив, будет ли выполняться равенство.