Каковы длины сторон прямоугольника, если его периметр составляет 120 см, а площадь равна 675 см2?

Давайте решим задачу о длинах сторон прямоугольника. Периметр прямоугольника — это сумма длин всех его сторон. У нас есть информация, что периметр прямоугольника равен 120 см, а площадь равна 675 см².

Для начала обозначим длины сторон прямоугольника как \(a\) и \(b\). Затем запишем формулы для периметра и площади прямоугольника.

Периметр прямоугольника:
\[P = 2a + 2b\]

Площадь прямоугольника:
\[S = a \cdot b\]

Мы знаем, что периметр равен 120 см, поэтому давайте подставим это значение в формулу для периметра и решим её:

\[120 = 2a + 2b\]

Теперь рассмотрим формулу для площади и подставим известное значение площади:

\[675 = a \cdot b\]

Теперь у нас есть две уравнения с двумя неизвестными (длины сторон прямоугольника \(a\) и \(b\)). Мы можем использовать систему уравнений, чтобы найти значения \(a\) и \(b\).

Давайте решим уравнение для периметра относительно одной из переменных. Например, отдельно выразим \(a\):

\[120 = 2a + 2b \Rightarrow 2a = 120 - 2b \Rightarrow a = 60 - b\]

Теперь подставим это значение \(a\) в уравнение для площади:

\[675 = (60 - b) \cdot b\]

Упростим это уравнение и приведем его к квадратному виду:

\[675 = 60b - b^2\]

Теперь перенесем все члены в одну сторону и получим квадратное уравнение:

\[b^2 - 60b + 675 = 0\]

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации \(b^2 - 60b + 675 = (b - 15)(b - 45) = 0\).

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(b\): \(b = 15\) и \(b = 45\).

Теперь, когда у нас есть значения для \(b\), мы можем найти соответствующие значения для \(a\). Подставим каждое значение \(b\) в выражение \(a = 60 - b\) и найдем \(a\):

При \(b = 15\):
\[a = 60 - 15 = 45\]

При \(b = 45\):
\[a = 60 - 45 = 15\]

Итак, значения длин сторон прямоугольника равны:
Длина \(a\) равна 45 см, а длина \(b\) равна 15 см.
или
Длина \(a\) равна 15 см, а длина \(b\) равна 45 см.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам разобраться в задаче о длинах сторон прямоугольника.