Каковы длины сторон прямоугольника, если его общая длина составляет 42 см, а площадь равна 68 см2?

Дано, что общая длина прямоугольника составляет 42 см, а площадь равна 68 см². Мы можем использовать эти данные, чтобы найти длины его сторон.

Пусть длина прямоугольника равна \( x \) см, а ширина равна \( y \) см.

Используя формулу для площади прямоугольника, мы получим уравнение:

\[ x \cdot y = 68 \]

Также, известно, что общая длина прямоугольника составляет 42 см. Это означает, что сумма длины и ширины прямоугольника равна 42 см:

\[ 2x + 2y = 42 \]

Теперь мы имеем систему уравнений с двумя уравнениями:

\[
\begin{align*}
x \cdot y &= 68 \\
2x + 2y &= 42
\end{align*}
\]

Давайте решим эту систему уравнений. Выразим переменную \( y \) из одного уравнения и подставим его в другое уравнение:

\[ y = \frac{68}{x} \]

\[ 2x + 2 \left(\frac{68}{x}\right) = 42 \]

\[ 2x + \frac{136}{x} = 42 \]

Умножим каждый член уравнения на \( x \), чтобы избавиться от дроби:

\[ 2x^2 + 136 = 42x \]

Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

\[ 2x^2 - 42x + 136 = 0 \]

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение, чтобы найти значения \( x \). Мы можем использовать квадратное уравнение для этого, но более быстрый способ - это использовать формулу дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \). В нашем случае, \( a = 2 \), \( b = -42 \), \( c = 136 \).
Найдем значение дискриминанта:

\[ D = (-42)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 136 \approx 1804 \]

Теперь мы можем найти значения \( x \) с помощью формулы \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
Подставим значения и решим уравнение:

\[ x = \frac{-(-42) \pm \sqrt{1804}}{2 \cdot 2} \]

\[ x = \frac{42 \pm \sqrt{1804}}{4} \]

\[ x \approx \frac{42 \pm 42.5}{4} \]

Подставим два значения \( x \) в уравнение для \( y \), чтобы найти значения \( y \):

Для \( x = \frac{42 + 42.5}{4} \approx \frac{84.5}{4} \approx 21.125 \):
\[ y = \frac{68}{21.125} \approx 3.220 \]

Для \( x = \frac{42 - 42.5}{4} \approx \frac{-0.5}{4} \approx -0.125 \):
\[ y = \frac{68}{-0.125} \approx -544 \]

Получается, что \( x \approx 21.125 \) см и \( y \approx 3.220 \) см.

В результате, длина сторон прямоугольника около 21.125 см и 3.220 см.