Каковы длины сторон прямоугольника, если его общая длина составляет 42 см, а площадь равна 68 см²?

Чтобы найти длины сторон прямоугольника, используем известную информацию о его общей длине и площади.

Пусть длина одной стороны равна \(x\) см, а длина другой стороны равна \(y\) см.

Из условия задачи мы знаем, что \(x + y = 42\) см, так как общая длина прямоугольника равна 42 см.

Также, известно, что площадь равна 68 см². Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: площадь = длина × ширина. В нашем случае это \(x \cdot y = 68\) см².

Итак, у нас есть система уравнений:

\[
\begin{align*}
x + y &= 42 \\
x \cdot y &= 68
\end{align*}
\]

Мы можем использовать метод замены или метод сложения/вычитания, чтобы решить эту систему уравнений. Воспользуемся методом замены:

Из первого уравнения выразим переменную \(x\):

\(x = 42 - y\)

Подставим это значение во второе уравнение:

\((42 - y) \cdot y = 68\)

Раскроем скобки:

\(42y - y^2 = 68\)

Полученное уравнение является квадратным, так как содержит переменную в квадрате. Приведем его к виду, который можно решить:

\(y^2 - 42y + 68 = 0\)

Теперь можно воспользоваться формулой дискриминанта, чтобы найти значения \(y\):

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \(D\) - дискриминант, \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты из уравнения.

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = -42\) и \(c = 68\).

\[ D = (-42)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 68 = 1764 - 272 = 1492 \]

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных действительных корня.

Применим формулу для нахождения корней:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ y = \frac{-(-42) \pm \sqrt{1492}}{2 \cdot 1} = \frac{42 \pm \sqrt{1492}}{2} \]

Вычислим значения:

\[ y_1 = \frac{42 + \sqrt{1492}}{2} \approx 33.87 \, \text{см} \]

\[ y_2 = \frac{42 - \sqrt{1492}}{2} \approx 8.13 \, \text{см} \]

Теперь, найдем значения для \(x\):

\[ x_1 = 42 - y_1 \approx 42 - 33.87 \approx 8.13 \, \text{см} \]

\[ x_2 = 42 - y_2 \approx 42 - 8.13 \approx 33.87 \, \text{см} \]

Итак, есть два возможных варианта длин сторон прямоугольника:

1) Длина одной стороны - примерно 33.87 см, длина другой стороны - примерно 8.13 см.

2) Длина одной стороны - примерно 8.13 см, длина другой стороны - примерно 33.87 см.