Каковы длины отрезков, исходящих из вершины B, при углах ∡K=80° и ∡N=50°? Упорядочьте отрезки по возрастанию их длин

Для решения задачи, нам понадобятся знания о тригонометрии и использование тригонометрических функций.

Мы можем использовать теорему синусов, которая гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла одинаково для всех сторон.

В данном случае, у нас есть угол ∡K, который равен 80°, и угол ∡N, который равен 50°. Мы хотим найти длины отрезков, исходящих из вершины B.

Пусть отрезок, исходящий из вершины B, обозначен как BC, а отрезок, исходящий из вершины B и противолежащий углу ∡N, обозначен как BN. Тогда отрезок, исходящий из вершины B и противолежащий углу ∡K, обозначается как BK.

Мы можем записать пропорцию, используя теорему синусов:

\[\frac{BN}{\sin \angle B} = \frac{BC}{\sin \angle N}\]

\[\frac{BK}{\sin \angle B} = \frac{BC}{\sin \angle K}\]

Теперь мы можем выразить длины отрезков BN и BK. Для этого нужно решить систему уравнений:

\[\begin{cases}
\frac{BN}{\sin \angle B} = \frac{BC}{\sin \angle N} \\
\frac{BK}{\sin \angle B} = \frac{BC}{\sin \angle K}
\end{cases}\]

Так как мы знаем значения углов ∡K и ∡N, мы можем подставить их в уравнение и выразить длины отрезков BN и BK:

\[\begin{cases}
\frac{BN}{\sin B} = \frac{BC}{\sin 50°} \\
\frac{BK}{\sin B} = \frac{BC}{\sin 80°}
\end{cases}\]

Теперь, чтобы найти длины отрезков BN и BK, мы можем воспользоваться соотношением между синусами:

\[\sin 50° = \cos 40° = \sin (90° - 40°)\]

\[\sin 80° = \cos 10° = \sin (90° - 10°)\]

Теперь мы можем переписать нашу систему уравнений следующим образом:

\[\begin{cases}
\frac{BN}{\sin B} = \frac{BC}{\sin (90° - 40°)} \\
\frac{BK}{\sin B} = \frac{BC}{\sin (90° - 10°)}
\end{cases}\]

Теперь нам нужно найти соотношение между синусами углов B и (90° - 40°). Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°:

\[B + (90° - 40°) + 90° = 180°\]

\[B + 50° + 90° = 180°\]

\[B + 140° = 180°\]

\[B = 40°\]

Теперь мы можем подставить значение угла B в наши уравнения:

\[\begin{cases}
\frac{BN}{\sin 40°} = \frac{BC}{\sin (90° - 40°)} \\
\frac{BK}{\sin 40°} = \frac{BC}{\sin (90° - 10°)}
\end{cases}\]

Теперь мы можем решить эти уравнения, используя соответствующие значения синусов:

\[\begin{cases}
\frac{BN}{\sin 40°} = \frac{BC}{\sin 50°} \\
\frac{BK}{\sin 40°} = \frac{BC}{\sin 80°}
\end{cases}\]

Теперь, чтобы найти длины отрезков BN и BK, мы можем умножить значение BС на соответствующее отношение:

\[BN = BC \cdot \frac{\sin 40°}{\sin 50°}\]

\[BK = BC \cdot \frac{\sin 40°}{\sin 80°}\]

Теперь мы можем рассчитать значения BN и BK, используя известные значения синусов. Просчитав эти значения, мы можем упорядочить отрезки BN и BK по возрастанию их длин.