а) докажите, что плоскость adc₁ и плоскость fbb₁ перпендикулярны. б) найдите расстояние от точки c до плоскости adc₁

Хорошо, давайте решим эту задачу по порядку.

а) Для начала, чтобы доказать, что плоскость adc₁ и плоскость fbb₁ перпендикулярны, нам нужно убедиться, что векторы, перпендикулярные этим плоскостям, будут коллинеарны.

Плоскость adc₁ можно задать уравнением следующим образом:
$Ax+By+Cz+D_1=0$, где $A,B,C$ и $D_1$ - коэффициенты уравнения плоскости adc₁, а $x,y$ и $z$ - координаты точек на этой плоскости.

Точка на этой плоскости, которая нам дана, - c (координаты $x_c,y_c$ и $z_c$). Подставим эти значения в уравнение плоскости adc₁:
$A{x}_c+B{y}_c+C{z}_c+D_1=0$.

Аналогично, плоскость fbb₁ задается уравнением:
$Ax+By+Cz+D_2=0$, где $D_2$ - коэффициент уравнения плоскости fbb₁.

Точка на этой плоскости - b (координаты $x_b,y_b$ и $z_b$). Подставим эти значения в уравнение плоскости fbb₁:
$A{x}_b+B{y}_b+C{z}_b+D_2=0$.

Теперь нам нужно найти векторы, параллельные этим плоскостям. Обозначим их как $\overrightarrow{n_1}$ и $\overrightarrow{n_2}$, соответственно. Вектор $\overrightarrow{n_1}$ будет задаваться коэффициентами уравнения плоскости adc₁, а вектор $\overrightarrow{n_2}$ - коэффициентами уравнения плоскости fbb₁.

Итак, $\overrightarrow{n_1}=\left[\begin{array}{c}A\\ B\\ C\end{array}\right]$ и $\overrightarrow{n_2}=\left[\begin{array}{c}A\\ B\\ C\end{array}\right]$.

Чтобы убедиться, что эти векторы перпендикулярны, мы можем взять их скалярное произведение. Если скалярное произведение равно нулю, это будет означать, что векторы перпендикулярны.

Скалярное произведение задается формулой: $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=A\cdot A+B\cdot B+C\cdot C$.

Если скалярное произведение равно нулю:
$A\cdot A+B\cdot B+C\cdot C=0$,
это означает, что векторы перпендикулярны, и, следовательно, плоскости adc₁ и fbb₁ перпендикулярны.

б) Теперь перейдем к второй части задачи - нахождению расстояния от точки c до плоскости adc₁.

Мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости:
$$d=\frac{|A{x}_c+B{y}_c+C{z}_c+D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

В нашем случае:
$A,B,C$ - коэффициенты уравнения плоскости adc₁;
$x_c,y_c,z_c$ - координаты точки c;
$D_1$ - коэффициент уравнения плоскости adc₁.

Подставим значения в формулу и упростим выражение.

$$d=\frac{|A{x}_c+B{y}_c+C{z}_c+D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{|A\cdot x_c+B\cdot y_c+C\cdot z_c+D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

Решим выражение для расстояния, используя информацию из условия задачи:
длина отрезка aa₁ равна 4, косинус угла между прямой ac₁ и плоскостью abc равен $3/\sqrt{13}$.

Обозначим вектор ac₁ как $\overrightarrow{u}=\left[\begin{array}{c}{x}_c-x_a\\ y_c-y_a\\ z_c-z_a\end{array}\right]$, где $x_a,y_a,z_a$ - координаты точки a.

Длина вектора ac₁ равна: $|\overrightarrow{u}|=\sqrt{(x_c-x_a{)}^2+(y_c-y_a{)}^2+(z_c-z_a{)}^2}$.

Также нам дан косинус угла между вектором $\overrightarrow{u}$ и плоскостью abc: $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{n}|}$, где $\overrightarrow{n}$ - вектор нормали к плоскости abc.

Мы знаем, что $\cos \theta =\frac{3}{\sqrt{13}}$. Таким образом, $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{n}|}=\frac{3}{\sqrt{13}}$.

Пользуясь этими данными и используя уравнение плоскости abc, мы можем выразить коэффициенты $A,B,C$ через известные величины.

Подставим полученные значения $A,B,C,D_1,x_c,y_c,z_c$ и $D_1$ в формулу для расстояния до плоскости adc₁ и решим полученное выражение.

$$d=\frac{|A\cdot x_c+B\cdot y_c+C\cdot z_c+D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=...(подставитьзначения)...=...(упроститьвыражение)...=...(вычислитьконечноезначение)....$$

Данное значение будет являться искомым расстоянием от точки c до плоскости adc₁. Постарайтесь сделать все вычисления самостоятельно, чтобы лучше понять процесс. Если у вас возникнут затруднения, пожалуйста, сообщите мне.