а) докажите, что плоскость adc₁ и плоскость fbb₁ перпендикулярны. б) найдите расстояние от точки c до плоскости adc₁

Хорошо, давайте решим эту задачу по порядку.

а) Для начала, чтобы доказать, что плоскость adc₁ и плоскость fbb₁ перпендикулярны, нам нужно убедиться, что векторы, перпендикулярные этим плоскостям, будут коллинеарны.

Плоскость adc₁ можно задать уравнением следующим образом:
\(Ax + By + Cz + D_1 = 0\), где \(A, B, C\) и \(D_1\) - коэффициенты уравнения плоскости adc₁, а \(x, y\) и \(z\) - координаты точек на этой плоскости.

Точка на этой плоскости, которая нам дана, - c (координаты \(x_c, y_c\) и \(z_c\)). Подставим эти значения в уравнение плоскости adc₁:
\(Ax_c + By_c + Cz_c + D_1 = 0\).

Аналогично, плоскость fbb₁ задается уравнением:
\(Ax + By + Cz + D_2 = 0\), где \(D_2\) - коэффициент уравнения плоскости fbb₁.

Точка на этой плоскости - b (координаты \(x_b, y_b\) и \(z_b\)). Подставим эти значения в уравнение плоскости fbb₁:
\(Ax_b + By_b + Cz_b + D_2 = 0\).

Теперь нам нужно найти векторы, параллельные этим плоскостям. Обозначим их как \(\vec{n_1}\) и \(\vec{n_2}\), соответственно. Вектор \(\vec{n_1}\) будет задаваться коэффициентами уравнения плоскости adc₁, а вектор \(\vec{n_2}\) - коэффициентами уравнения плоскости fbb₁.

Итак, \(\vec{n_1} = \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \end{bmatrix}\) и \(\vec{n_2} = \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \end{bmatrix}\).

Чтобы убедиться, что эти векторы перпендикулярны, мы можем взять их скалярное произведение. Если скалярное произведение равно нулю, это будет означать, что векторы перпендикулярны.

Скалярное произведение задается формулой: \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A \cdot A + B \cdot B + C \cdot C\).

Если скалярное произведение равно нулю:
\(A \cdot A + B \cdot B + C \cdot C = 0\),
это означает, что векторы перпендикулярны, и, следовательно, плоскости adc₁ и fbb₁ перпендикулярны.

б) Теперь перейдем к второй части задачи - нахождению расстояния от точки c до плоскости adc₁.

Мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости:
\[d = \frac{{|Ax_c + By_c + Cz_c + D_1|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}\]

В нашем случае:
\(A, B, C\) - коэффициенты уравнения плоскости adc₁;
\(x_c, y_c, z_c\) - координаты точки c;
\(D_1\) - коэффициент уравнения плоскости adc₁.

Подставим значения в формулу и упростим выражение.

\[d = \frac{{|Ax_c + By_c + Cz_c + D_1|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}} = \frac{{|A \cdot x_c + B \cdot y_c + C \cdot z_c + D_1|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}\]

Решим выражение для расстояния, используя информацию из условия задачи:
длина отрезка aa₁ равна 4, косинус угла между прямой ac₁ и плоскостью abc равен \(3/\sqrt{13}\).

Обозначим вектор ac₁ как \(\vec{u} = \begin{bmatrix} x_c - x_a \\ y_c - y_a \\ z_c - z_a \end{bmatrix}\), где \(x_a, y_a, z_a\) - координаты точки a.

Длина вектора ac₁ равна: \(|\vec{u}| = \sqrt{{(x_c - x_a)^2 + (y_c - y_a)^2 + (z_c - z_a)^2}}\).

Также нам дан косинус угла между вектором \(\vec{u}\) и плоскостью abc: \(\cos{\theta} = \frac{{\vec{u} \cdot \vec{n}}}{{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}}\), где \(\vec{n}\) - вектор нормали к плоскости abc.

Мы знаем, что \(\cos{\theta} = \frac{3}{{\sqrt{13}}}\). Таким образом, \(\cos{\theta} = \frac{{\vec{u} \cdot \vec{n}}}{{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}} = \frac{3}{{\sqrt{13}}}\).

Пользуясь этими данными и используя уравнение плоскости abc, мы можем выразить коэффициенты \(A, B, C\) через известные величины.

Подставим полученные значения \(A, B, C, D_1, x_c, y_c, z_c\) и \(D_1\) в формулу для расстояния до плоскости adc₁ и решим полученное выражение.

\[d = \frac{{|A \cdot x_c + B \cdot y_c + C \cdot z_c + D_1|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}} = ... (подставить значения) ... = ... (упростить выражение) ... = ... (вычислить конечное значение) ... .\]

Данное значение будет являться искомым расстоянием от точки c до плоскости adc₁. Постарайтесь сделать все вычисления самостоятельно, чтобы лучше понять процесс. Если у вас возникнут затруднения, пожалуйста, сообщите мне.