Каковы длины медиан ВМ и АN треугольника АВС, если известно, что площадь треугольника равна 36 кв.см и соотношение

Для решения данной задачи, давайте вспомним основные свойства медиан треугольника.

Медиана треугольника - это линия, соединяющая вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Пусть M и N - середины сторон AB и AC соответственно. Тогда, нужно найти длины медиан BM и AN.

Известно, что площадь треугольника ABC равна 36 кв. см, а также что соотношение AP:PM равно λ:1. При этом, мы не знаем конкретные значения λ и длины стороны BC.

Для решения задачи давайте разобьем плоский треугольник ABC на три маленьких треугольника: APM, BPM и ANC.

Так как соотношение AP:PM равно λ:1, мы можем предположить, что точка P делит сторону AB в отношении λ:1. Таким образом, длина отрезка AP будет равна \(λ / (λ + 1)\) от общей длины стороны AB, а длина отрезка PM будет равна \(1 / (λ + 1)\) от длины AB.

Теперь, давайте посмотрим на отношения площадей маленьких треугольников внутри ABC.

Площадь треугольника APM составляет \( (\lambda / (λ + 1))^2 \) от площади треугольника ABC.
Площадь треугольника BPM составляет \( (1 / (λ + 1))^2 \) от площади треугольника ABC.
Площадь треугольника ANC составляет \( (λ / (λ + 1)) \cdot (1 / (λ + 1)) \) от площади треугольника ABC.

Таким образом, сумма площадей трех маленьких треугольников должна быть равна площади треугольника ABC.

Мы можем записать уравнение в виде:

\( (\lambda / (λ + 1))^2 + (1 / (λ + 1))^2 + (λ / (λ + 1)) \cdot (1 / (λ + 1)) = 36 \)

Перенесем все в одну дробь:

\( \lambda^2 / (λ + 1)^2 + 1 / (λ + 1)^2 + λ / (λ + 1)^2 = 36 \)

Упростим:

\( \lambda^2 + 1 + λ = 36(λ + 1)^2 \)

Раскроем квадрат в правой части уравнения:

\( \lambda^2 + 1 + λ = 36λ^2 + 72λ + 36 \)

Получим следующее квадратное уравнение:

\( 36λ^2 + 71λ + 35 = 0 \)

Решим его с помощью формулы дискриминанта.

\( D = b^2 - 4ac \)

\( D = 71^2 - 4 \cdot 36 \cdot 35 = 5041 - 5040 = 1 \)

Корни уравнения будут такими:

\( λ_1 = (-b + \sqrt{D}) / (2a) = (-71 + 1) / 72 = -70 / 72 = -35 / 36 \) (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)
\( λ_2 = (-b - \sqrt{D}) / (2a) = (-71 - 1) / 72 = -72 / 72 = -1 \) (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)

Таким образом, решений для значения λ нет.

Из этого следует, что задачу невозможно решить с использованием только предоставленной информации о площади треугольника и соотношении AP:PM. Нам необходима дополнительная информация, например, длина стороны BC или другие данные.

Поэтому, длины медиан BM и AN треугольника ABC в данной задаче невозможно определить.