a) Может ли угол между двумя векторами быть прямым? b) Что равно квадрату длины вектора? c) При каких условиях

a) Угол между двумя векторами может быть прямым, если и только если их скалярное произведение равно нулю. Давайте рассмотрим векторы \(\vec{A} = (a_1, a_2, a_3)\) и \(\vec{B} = (b_1, b_2, b_3)\). Угол между векторами определяется следующим образом:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\vec{A} \cdot \vec{B}}}{{|\vec{A}| |\vec{B}|}}
\]

где \(\vec{A} \cdot \vec{B}\) - скалярное произведение векторов, а \(|\vec{A}|, |\vec{B}|\) - длины векторов. Если \(\cos(\theta) = 0\), то \(\vec{A} \cdot \vec{B} = 0\), что означает, что угол между векторами равен 90 градусам, то есть угол прямой.

b) Длина вектора определяется следующим образом:

\[
|\vec{V}| = \sqrt{{v_1}^2 + {v_2}^2 + \ldots + {v_n}^2}
\]

где \(v_1, v_2, \ldots, v_n\) - компоненты вектора. Квадрат длины вектора можно выразить следующим образом:

\[
|\vec{V}|^2 = {v_1}^2 + {v_2}^2 + \ldots + {v_n}^2
\]

Таким образом, квадрат длины вектора равен сумме квадратов его компонент.

c) Скалярное произведение нулевых векторов равно нулю при любых условиях. Нулевой вектор \(\vec{0}\) - это вектор, у которого все компоненты равны нулю. Скалярное произведение двух векторов определяется следующим образом:

\[
\vec{A} \cdot \vec{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n
\]

Поскольку все компоненты нулевых векторов равны нулю, то и скалярное произведение этих векторов также будет равно нулю.

d) Направляющий вектор прямой - это вектор, который указывает направление прямой. Для прямой в трехмерном пространстве ее направляющий вектор может быть найден следующим образом: выбираем две точки на прямой - \(P_1(x_1, y_1, z_1)\) и \(P_2(x_2, y_2, z_2)\). Затем вычисляем разность координат точек:

\[
\vec{v} = \vec{P_2} - \vec{P_1} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)
\]

Таким образом, вектор \(\vec{v}\) будет являться направляющим вектором прямой.