Каковы длины катетов прямоугольного треугольника, если их разность составляет 2 см, а площадь треугольника равна

Давайте решим эту задачу пошагово. Предположим, что первый катет имеет длину \(x\) см, а второй катет имеет длину \(x + 2\) см. Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника равна 24 квадратных сантиметра.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \(\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times \text{Длина первого катета} \times \text{Длина второго катета}\)

Подставляя известные значения, у нас получается уравнение: \(24 = \frac{1}{2} \times x \times (x + 2)\)

Чтобы решить это уравнение, упростим его. Умножим \(\frac{1}{2}\) на \(x\) и \((x + 2)\):

\(24 = \frac{1}{2} \times x \times x + \frac{1}{2} \times x \times 2\)

Далее упростим это уравнение:

\(24 = \frac{1}{2}x^2 + x\)

Теперь перенесем все термины на одну сторону:

\(\frac{1}{2}x^2 + x - 24 = 0\)

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать разложение на множители или формулу дискриминанта. В этом случае разложение на множители будет проще.

Мы заметим, что \(\frac{1}{2}x^2 + x - 24\) может быть представлено в виде произведения двух множителей, которые при перемножении дадут исходное выражение. Попробуем найти такое разложение:

\(\frac{1}{2}x^2 + x - 24 = \frac{1}{2}(x + 6)(x - 4)\)

Таким образом, у нас теперь есть уравнение: \(\frac{1}{2}(x + 6)(x - 4) = 0\)

Теперь мы можем приравнять каждый множитель к нулю и решить два уравнения:

1) \(x + 6 = 0\)
2) \(x - 4 = 0\)

1) Решим первое уравнение:

\(x + 6 = 0\)

Вычтем 6 с обеих сторон уравнения:

\(x = -6\)

2) Решим второе уравнение:

\(x - 4 = 0\)

Добавим 4 с обеих сторон уравнения:

\(x = 4\)

Таким образом, у нас есть два решения для \(x\): -6 и 4. Однако, длина не может быть отрицательной, поэтому \(x = 4\) является приемлемым ответом.

Теперь мы знаем, что первый катет имеет длину 4 см. Тогда второй катет будет иметь длину \(4 + 2 = 6\) см.

Итак, ответ: длины катетов прямоугольного треугольника равны 4 см и 6 см, соответственно.