Каковы длины диагоналей параллелограмма при сторонах равных 6 см и 3 см, и угле между ними равном 120°? Значение

Для начала, давайте вспомним основные свойства параллелограмма. В параллелограмме противоположные стороны равны по длине и параллельны, а диагонали делятся пополам и являются векторами суммы двух соседних сторон.

У нас есть параллелограмм с двумя сторонами равными 6 см и 3 см, а угол между ними равен 120°. Давайте назовем стороны параллелограмма AB и BC, а диагональ AC и BD.

Поскольку у нас есть две стороны и угол между ними, мы можем использовать закон косинусов, чтобы найти длину диагонали AC.

Закон косинусов гласит:

$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos (\mathrm{\angle }ABC)$$

Подставляя значения, у нас будет:

$$A{C}^2=6^2+3^2-2\cdot 6\cdot 3\cdot \cos (120°)$$

Используя тригонометрические свойства, мы знаем, что $\cos (120°)=-\frac{1}{2}$.

Подставляя это значение, у нас будет:

$$A{C}^2=36+9-2\cdot 6\cdot 3\cdot (-\frac{1}{2})$$

$$A{C}^2=45+6\cdot 3=45+18=63$$

Чтобы найти длину диагонали AC, мы возьмем корень из обеих сторон:

$$AC=\sqrt{63}=3\sqrt{7}\approx 7.937\text{ см}$$

Теперь давайте найдем длину диагонали BD, используя то же самое свойство параллелограмма.

Мы знаем, что диагональ BD также делит параллелограмм на два равных треугольника. Поскольку сторона AB равна 6 см, а угол между ними также равен 120°, каждый треугольник является равносторонним треугольником. Таким образом, сторона BD также равна 6 см.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник BDC с известными сторонами. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти диагональ BD.

Теорема Пифагора гласит:

$$B{D}^2=B{C}^2+C{D}^2$$

Подставляя значения, у нас будет:

$$B{D}^2=3^2+6^2=9+36=45$$

Теперь возьмем корень из обеих сторон, чтобы найти длину диагонали BD:

$$BD=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\approx 6.708\text{ см}$$

Таким образом, длина диагонали AC равна $\sqrt{63}=3\sqrt{7}$ см, а длина диагонали BD равна $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$ см.