Каковы длины диагоналей параллелограмма при сторонах равных 6 см и 3 см, и угле между ними равном 120°? Значение

Для начала, давайте вспомним основные свойства параллелограмма. В параллелограмме противоположные стороны равны по длине и параллельны, а диагонали делятся пополам и являются векторами суммы двух соседних сторон.

У нас есть параллелограмм с двумя сторонами равными 6 см и 3 см, а угол между ними равен 120°. Давайте назовем стороны параллелограмма AB и BC, а диагональ AC и BD.

Поскольку у нас есть две стороны и угол между ними, мы можем использовать закон косинусов, чтобы найти длину диагонали AC.

Закон косинусов гласит:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)\]

Подставляя значения, у нас будет:

\[AC^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \cos(120°)\]

Используя тригонометрические свойства, мы знаем, что \(\cos(120°) = -\frac{1}{2}\).

Подставляя это значение, у нас будет:

\[AC^2 = 36 + 9 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]

\[AC^2 = 45 + 6 \cdot 3 = 45 + 18 = 63\]

Чтобы найти длину диагонали AC, мы возьмем корень из обеих сторон:

\[AC = \sqrt{63} = 3\sqrt{7} \approx 7.937\text{ см}\]

Теперь давайте найдем длину диагонали BD, используя то же самое свойство параллелограмма.

Мы знаем, что диагональ BD также делит параллелограмм на два равных треугольника. Поскольку сторона AB равна 6 см, а угол между ними также равен 120°, каждый треугольник является равносторонним треугольником. Таким образом, сторона BD также равна 6 см.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник BDC с известными сторонами. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти диагональ BD.

Теорема Пифагора гласит:

\[BD^2 = BC^2 + CD^2\]

Подставляя значения, у нас будет:

\[BD^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45\]

Теперь возьмем корень из обеих сторон, чтобы найти длину диагонали BD:

\[BD = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6.708\text{ см}\]

Таким образом, длина диагонали AC равна \(\sqrt{63} = 3\sqrt{7}\) см, а длина диагонали BD равна \(\sqrt{45} = 3\sqrt{5}\) см.