Каковы длины боковых ребер прямого параллелепипеда, у которого стороны основания равны 5 и 7 см и угол между ними

Для решения этой задачи воспользуемся связью между длинами боковых ребер прямоугольного параллелепипеда и его сторонами основания.

Первым шагом найдём длину третьей стороны основания. Угол между основаниями равен 30°, а стороны основания равны 5 и 7 см. Мы можем найти третью сторону используя теорему косинусов.

Пусть c - третья сторона основания, a и b - стороны основания. Угол между сторонами a и c равен 30°. Тогда по теореме косинусов:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\alpha)\]

где \(\alpha\) - угол между сторонами a и c.

Подставляя значения, получим:

\[c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos(30°)\]

\[c^2 = 25 + 49 - 70 \cdot \cos(30°)\]

Теперь, чтобы найти длину боковых ребер, нам нужно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника со сторонами основания и одним из боковых ребер. Поэтому:

\[с^2 = c_1^2 + c_2^2\]

где \(c_1\) и \(c_2\) - длины боковых ребер.

Подставляя найденное значение c, получим:

\[c^2 = c_1^2 + c_2^2\]

\[(25 + 49 - 70 \cdot \cos(30°)) = c_1^2 + c_2^2\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(c_1\) и \(c_2\).

Теперь перейдём ко второй части задачи. Мы знаем, что меньшая диагональ параллелепипеда равна 12 см. Это означает, что диагональ сторон основания, то есть вторая диагональ, является большей.

Пусть \(d_1, d_2\) - длины диагоналей сторон основания. В нашем случае \(d_1 = 12\) см, а \(d_2\) - большая диагональ.

Тогда, площадь боковой поверхности параллелепипеда можно найти по формуле:

\[S_{\text{бок}} = 2ab + 2bc + 2ac\]

где a и b - стороны основания, \(c_1\) и \(c_2\) - длины боковых ребер.

Подставляя значения, получаем:

\[S_{\text{бок}} = 2 \cdot 5 \cdot c_1 + 2 \cdot 7 \cdot c_2 + 2 \cdot 5 \cdot 7\]

Теперь найдём площадь полной поверхности параллелепипеда. Она определяется формулой:

\[S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2ab\]

где a и b - стороны основания.

Подставляя значения, получаем:

\[S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2 \cdot 5 \cdot 7\]

Подставляя уже найденное значение \(S_{\text{бок}}\), получаем значения площади боковой и полной поверхности параллелепипеда.

Надеюсь, это решение будет полезно и понятно для ученика. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!