Каковы амплитуда и период колебаний груза, а также его максимальная скорость, если его полная энергия колебаний

Давайте начнем с расчета амплитуды колебаний груза. Для этого мы можем использовать уравнение энергии колебаний:

\[E_{\text{пот}} + E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} k A^2,\]

где \(E_{\text{пот}}\) - потенциальная энергия, \(E_{\text{кин}}\) - кинетическая энергия, \(k\) - жесткость пружины и \(A\) - амплитуда колебаний.

Мы знаем, что полная энергия колебаний равна 240 Дж, поэтому:

\[240 = \frac{1}{2} k A^2.\]

Нам также дана жесткость пружины \(k\), равная 18 Н/м. Подставив это значение в уравнение, мы получим:

\[240 = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot A^2.\]

Теперь давайте решим это уравнение относительно \(A\):

\[\begin{align*}
240 &= 9 A^2 \\
\frac{240}{9} &= A^2 \\
26.67 &= A^2 \\
A &\approx \sqrt{26.67} \\
A &\approx 5.16 \, \text{м}.
\end{align*}\]

Таким образом, амплитуда колебаний груза составляет примерно 5.16 м.

Теперь перейдем к расчету периода колебаний. Для этого мы можем использовать формулу:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},\]

где \(T\) - период колебаний, \(m\) - масса груза и \(k\) - жесткость пружины.

Нам дана масса груза \(m\), равная 197 г. Подставив это значение и значение жесткости пружины \(k\), мы получим:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{0.197}{18}}.\]

Вычислим это значение:

\[\begin{align*}
T &= 2\pi\sqrt{\frac{0.197}{18}} \\
&= \pi\sqrt{\frac{0.197}{9}} \\
&\approx \pi\sqrt{0.0219} \\
&\approx \pi\cdot0.148 \\
&\approx 0.465 \pi \, \text{с}.
\end{align*}\]

Таким образом, период колебаний груза составляет примерно \(0.465 \pi\) с.

Наконец, рассчитаем максимальную скорость груза. Мы знаем, что максимальная кинетическая энергия достигается, когда потенциальная энергия равна нулю, и наоборот. Таким образом:

\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} k A^2.\]

Подставим значения \(k\) и \(A\):

\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot (5.16)^2.\]

Вычислим это значение:

\[\begin{align*}
E_{\text{кин}} &= \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot (5.16)^2 \\
&= 9 \cdot 26.6256 \\
&= 239.63184 \, \text{Дж}.
\end{align*}\]

Таким образом, максимальная скорость груза достигается при энергии колебаний, равной 239.63 Дж.

Итак, ответы: амплитуда колебаний: 5.16 м, период колебаний: 0.47 с, максимальная скорость груза: 239.63 Дж.