Каковы абсциссы точки P и точки пересечения диагоналей четырехугольника, заданного вершинами O(0; 0), A(8; 6), B(3

Чтобы найти абсциссы точки P и точки пересечения диагоналей четырехугольника, нам понадобится найти уравнения прямых, содержащих диагонали, и решить их систему.

Для начала, нам понадобятся координаты точек C и P. Чтобы найти координаты точки C, нам нужно найти середину отрезка AB.

Середина отрезка AB будет находиться между координатами его конечных точек, и мы можем найти ее, используя среднее значение x- и y-координат:

\[C \left(\frac{{x_A + x_B}}{2}, \frac{{y_A + y_B}}{2}\right)\]

Подставив известные значения, мы можем выразить координаты точки C:

\[C \left(\frac{{8 + 3}}{2}, \frac{{6 + 4}}{2}\right)\]
\[C \left(\frac{{11}}{2}, \frac{{10}}{2}\right)\]
\[C \left(\frac{{11}}{2}, 5\right)\]

Теперь у нас есть координаты C, и мы можем перейти к поиску уравнений прямых, содержащих диагонали четырехугольника.

Уравнение прямой можно записать в виде y = mx + b, где m - это наклон прямой, а b - это y-перехват.

Для диагонали AC, мы можем использовать точки A и C. Наклон прямой можно найти, используя формулу:

\[m = \frac{{y_C - y_A}}{{x_C - x_A}}\]

Подставив значения, мы можем выразить наклон прямой AC:

\[m = \frac{{5 - 6}}{{\frac{{11}}{2} - 8}}\]
\[m = \frac{{-1}}{{-1.5}}\]
\[m = \frac{{2}}{{3}}\]

Для нахождения y-перехвата, мы можем использовать известную точку A и зная значение наклона:

\[y_A = mx_A + b\]
\[6 = \frac{{2}}{{3}} \cdot 8 + b\]

Решив эту уравнение, мы можем найти y-перехват:

\[6 = \frac{{16}}{{3}} + b\]
\[18 - \frac{{16}}{{3}} = b\]
\[b = \frac{{34}}{{3}}\]

Таким образом, уравнение прямой AC будет иметь вид:

\[y = \frac{{2}}{{3}}x + \frac{{34}}{{3}}\]

Теперь давайте приступим к диагонали BD.

Аналогично, найдем наклон прямой BD, используя точки B и D:

\[m = \frac{{y_D - y_B}}{{x_D - x_B}}\]
\[m = \frac{{0 - 4}}{{5 - 3}}\]
\[m = \frac{{-4}}{{2}}\]
\[m = -2\]

Для нахождения y-перехвата, используем точку B и наклон:

\[y_B = mx_B + b\]
\[4 = -2 \cdot 3 + b\]

\[4 = -6 + b\]
\[b = 10\]

Таким образом, уравнение прямой BD будет иметь вид:

\[y = -2x + 10\]

Теперь у нас есть уравнения прямых AC и BD. Чтобы найти точку пересечения диагоналей, решим их систему.

Систему можно решить путем приравнивания уравнений и нахождения значений x и y:

\[\frac{{2}}{{3}}x + \frac{{34}}{{3}} = -2x + 10\]

\[\frac{{2}}{{3}}x + 2x = 10 - \frac{{34}}{{3}}\]

\[2x + \frac{{6}}{{3}}x = \frac{{30}}{{3}} - \frac{{34}}{{3}}\]

\[\frac{{8}}{{3}}x = -\frac{{4}}{{3}}\]

\[x = -\frac{{4}}{{3}} \cdot \frac{{3}}{{8}}\]

\[x = -\frac{{4}}{{8}}\]

\[x = -\frac{{1}}{{2}}\]

Теперь, чтобы найти значение y, мы можем взять любое из уравнений и подставить найденное значение x. Давайте возьмем уравнение прямой AC:

\[y = \frac{{2}}{{3}} \cdot \left(-\frac{{1}}{{2}}\right) + \frac{{34}}{{3}}\]

\[y = -\frac{{1}}{{3}} + \frac{{34}}{{3}}\]

\[y = \frac{{33}}{{3}}\]

\[y = 11\]

Таким образом, точка пересечения диагоналей имеет координаты P \(\left(-\frac{{1}}{{2}}, 11\right)\).

Чтобы найти абсциссу точки P, нам просто нужно взять значение x:

абсцисса точки P = -\frac{{1}}{{2}}