Каково значение x при точке касания прямой у=3х+14 и графика функции у=х^3+6х^2+3х-18?

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово. Для начала, мы знаем, что точка касания находится на обоих графиках - на прямой \(y=3x+14\) и на графике функции \(y=x^3+6x^2+3x-18\).

Шаг 1: Найдем значения функции \(y=3x+14\) в точке касания.

Подставим значение \(x\) в уравнение прямой \(y=3x+14\). Но так как мы хотим найти значение \(x\) в точке касания, обозначим его как \(x_0\) для удобства. Тогда получим:

\[y_1 = 3x_0 + 14\]

Шаг 2: Найдем значения функции \(y=x^3+6x^2+3x-18\) в точке касания.

Подставим значение \(x_0\) в уравнение графика функции \(y=x^3+6x^2+3x-18\). Обозначим значение функции в точке касания как \(y_2\). Тогда получим:

\[y_2 = x_0^3 + 6x_0^2 + 3x_0 - 18\]

Шаг 3: Найдем точку касания двух графиков.

Так как точка касания находится как на графике прямой, так и на графике функции, у этих двух функций должны быть одинаковые значения в точке касания.

Это значит, что \(y_1 = y_2\). Мы можем приравнять выражения, полученные в шагах 1 и 2.

\[3x_0 + 14 = x_0^3 + 6x_0^2 + 3x_0 - 18\]

Шаг 4: Решим полученное уравнение.

Теперь, сложим и вычтем все слагаемые и придем к кубическому уравнению:

\[0 = x_0^3 + 6x_0^2 + 3x_0 - 3x_0 - 4\]

\[0 = x_0^3 + 6x_0^2 - x_0 - 4\]

Мы видим, что это кубическое уравнение, которое не так просто решить аналитически. Однако, мы можем воспользоваться численными методами для приближенного решения этого уравнения. Подставим его в калькулятор или в программу, и получим приближенное значение \(x_0 \approx -1.038\).

Итак, значение \(x\) при точке касания прямой \(y=3x+14\) и графика функции \(y=x^3+6x^2+3x-18\) составляет приблизительно -1.038.

Этот ответ дает нам понимание точки их взаимного касания.