Каково значение выражения 3sinx*sin3x-3cosx*cos3x при условии 3cos(4п-4x)=1?

Для начала, давайте решим уравнение \(3\cos(4\pi - 4x) = 1\) и найдем значение \(x\).

Чтобы решить это уравнение, сначала приведем его к виду \(\cos(4\pi - 4x) = \frac{1}{3}\).

Поскольку \(\cos\theta\) - это четная функция, то \(\cos(4\pi - 4x) = \cos(4x - 4\pi)\).

Таким образом, уравнение может быть записано как \(\cos(4x - 4\pi) = \frac{1}{3}\).

Зная, что \(\cos\theta = \frac{1}{3}\), мы можем решить это уравнение, используя обратную функцию косинуса. Возьмем арккосинус от обоих частей:

\[4x - 4\pi = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)\]

Затем разделим обе части уравнения на 4:

\[x - \pi = \frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\]

И, наконец, добавим \(\pi\) к обеим частям:

\[x = \pi + \frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\]

Таким образом, мы нашли значение \(x\), которое равно \(\pi + \frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\).

Теперь, когда у нас есть значение \(x\), мы можем найти значение выражения \(3\sin x \cdot \sin 3x - 3\cos x \cdot \cos 3x\). Подставим найденное значение \(x\) и рассчитаем это выражение:

\[3\sin\left(\pi + \frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right) \cdot \sin 3\left(\pi + \frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right) - 3\cos\left(\pi + \frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right) \cdot \cos 3\left(\pi + \frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right)\]

Несколько шагов алгебры помогут нам упростить это выражение.

Сначала рассмотрим синус и косинус суммы двух углов:
\(\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B\) и \(\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B\).

Применим это к нашему выражению:
\begin{align*}
& 3\sin\left(\pi + \frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right) \cdot \sin 3\left(\pi + \frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right) \\
& - 3\cos\left(\pi + \frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right) \cdot \cos 3\left(\pi + \frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right) \\
& = 3\left(\sin\pi \cdot \cos\left(\frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right) + \cos\pi \cdot \sin\left(\frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right) \cdot \\
& \sin 3\left(\pi + \frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right) - 3\left(\cos\pi \cdot \cos\left(\frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right) - \sin\pi \cdot \sin\left(\frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right) \cdot \\
& \cos 3\left(\pi + \frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right)
\end{align*}

Заметим, что \(\sin\pi = 0\) и \(\cos\pi = -1\). Также, \(\sin 3\pi = 0\) и \(\cos 3\pi = -1\). Подставим эти значения и упростим:

\begin{align*}
& 3\left(0 \cdot \cos\left(\frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right) + (-1) \cdot \sin\left(\frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right) \cdot \\
& \sin 3\left(\pi + \frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right) - 3\left((-1) \cdot \cos\left(\frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right) - 0 \cdot \sin\left(\frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right) \cdot \\
& \cos 3\left(\pi + \frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right) \\
& = -3\sin\left(\frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right) \cdot \sin 3\left(\pi + \frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right) + 3\cos\left(\frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right) \cdot \cos 3\left(\pi + \frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right)
\end{align*}

Теперь мы имеем значение выражения \(3\sin x \cdot \sin 3x - 3\cos x \cdot \cos 3x\) при условии \(3\cos(4\pi - 4x) = 1\), которое равно \(-3\sin\left(\frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right) \cdot \sin 3\left(\pi + \frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right) + 3\cos\left(\frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right) \cdot \cos 3\left(\pi + \frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right)\).