Каково значение ускорения свободного падения на поверхности данной планеты и на расстоянии 3200 км от ее поверхности

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые физические законы и формулы. Давайте начнем!

Закон всемирного тяготения, сформулированный Исааком Ньютоном, гласит, что сила притяжения между двумя объектами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Формулой для вычисления силы тяготения является:

\[F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\]

Где:
\(F\) - сила тяготения,
\(G\) - гравитационная постоянная,
\(m_1\) и \(m_2\) - массы двух объектов,
\(r\) - расстояние между объектами.

В данной задаче у нас есть два случая: на поверхности планеты и на расстоянии 3200 км от ее поверхности.

1. На поверхности планеты:
Масса данной планеты равна массе Земли. Обозначим ее массу как \(m_p\).
Радиус планеты в два раза меньше радиуса Земли. Обозначим радиус планеты как \(r_p\).

Согласно условию задачи, у нас есть масса Земли (\(m_e\)) и радиус Земли (\(r_e\)).
Мы можем записать соотношение \(m_p = m_e\) и \(r_p = \frac{r_e}{2}\).

Теперь мы можем использовать формулу для силы тяготения, чтобы найти значение ускорения свободного падения (\(g_p\)) на поверхности данной планеты.
На поверхности планеты расстояние между центром планеты и точкой, находящейся на поверхности, равно радиусу планеты \(r_p\).

Мы знаем, что сила тяготения, действующая на объект массой \(m_p\) на поверхности планеты, равна его весу (\(F = m_p \cdot g_p\)).
Тогда можем записать:

\[m_p \cdot g_p = G \cdot \frac{m_p \cdot m_e}{r_p^2}\]

Теперь подставим выражения для массы и радиуса планеты:

\[m_p \cdot g_p = G \cdot \frac{m_p \cdot m_e}{\left( \frac{r_e}{2} \right)^2}\]

Массы планеты (\(m_p\)) в правой и левой части уравнения сокращаются, и мы можем продолжить решение:

\[g_p = G \cdot \frac{m_e}{\left( \frac{r_e}{2} \right)^2}\]

2. На расстоянии 3200 км от поверхности планеты:
Теперь нам нужно найти значение ускорения свободного падения на расстоянии 3200 км от поверхности планеты.
Расстояние от центра планеты до этой точки будет равно сумме радиуса планеты (\(r_p\)) и заданного расстояния (3200 км).
Обозначим это расстояние как \(r_{3200}\).

Мы можем использовать ту же формулу для силы тяготения, но с другим расстоянием:

\[m_p \cdot g_{3200} = G \cdot \frac{m_p \cdot m_e}{r_{3200}^2}\]

Снова заменим выражения для массы и радиуса планеты:

\[g_{3200} = G \cdot \frac{m_e}{r_{3200}^2}\]

Теперь у нас есть выражения для \(g_p\) (ускорение на поверхности планеты) и \(g_{3200}\) (ускорение на расстоянии 3200 км от поверхности).

Подставим числовые значения в формулы и рассчитаем результат.

Решение:
Поскольку конкретные числовые значения массы Земли (\(m_e\)), радиуса Земли (\(r_e\)) и гравитационной постоянной (\(G\)) не указаны, мы не можем точно рассчитать ускорение свободного падения.
Однако, по формулам, мы можем установить соотношение между \(g_p\) и \(g_{3200}\), используя заданные варианты ответа.

Мы можем сравнить значения \(g_p\) и \(g_{3200}\), поэтому выберем вариант ответа, который удовлетворяет заданным условиям.
Если \(g_p = 39\) м/с², то \(g_{3200}\) будет равно \(39\) м/с², потому что ускорение свободного падения убывает с расстоянием.
Если \(g_p = 9.8\) м/с², то \(g_{3200}\) также будет равно \(9.8\) м/с², потому что ускорение свободного падения на расстоянии 3200 км от поверхности будет таким же, как на поверхности планеты.

Таким образом, значения \(39\) и \(9.8\) м/с² являются возможными значениями ускорения свободного падения на поверхности данной планеты и на расстоянии 3200 км от ее поверхности соответственно, в зависимости от заданных условий.

Пожалуйста, обратите внимание, что это общая методология решения задачи и результат может быть точно рассчитан только при наличии конкретных числовых значений \(m_e\), \(r_e\) и \(G\).