Каково значение sin (a/2), если cos(a) = 161/289 и угол а находится в четвертой четверти?

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать тригонометрические соотношения и информацию о координатах угла а.

Известно, что косинус а равен 161/289, а угол а находится в четвертой четверти. Это означает, что смежная сторона (катет) угла а отрицательна, а противоположная (гипотенуза) - положительна.

Для начала, мы можем найти значение синуса а. Используем основное тригонометрическое соотношение:

\[\sin^2 a + \cos^2 a = 1\]

Подставим данное значение косинуса:

\[\sin^2 a + \left(\frac{161}{289}\right)^2 = 1\]

Переставим слагаемые:

\[\sin^2 a = 1 - \left(\frac{161}{289}\right)^2\]

Вычислим это выражение:

\[\sin^2 a = 1 - \frac{161^2}{289^2} = 1 - \frac{25921}{83521} = \frac{57600}{83521}\]

Для нахождения значения синуса нужно взять квадратный корень из этой дроби. Но перед этим необходимо понять знак синуса. Учитывая, что угол а находится в четвертой четверти, синус будет отрицательным.

\[\sin a = -\sqrt{\frac{57600}{83521}} = -\frac{240}{289}\]

Теперь мы можем найти значение sin(a/2), используя половинные углы. По формуле половинного угла:

\[\sin\left(\frac{a}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos a}{2}}\]

В данном случае, угол а/2 будет положительным, так как он находится во второй четверти.

Подставим значения и рассчитаем значение sin(a/2):

\[\sin\left(\frac{a}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \frac{161}{289}}{2}} = \sqrt{\frac{128}{289}} = \frac{8}{17}\]

Таким образом, значение sin(a/2) равно \(\frac{8}{17}\).