Каково значение производной функции f(x) в точке x0, где на графике изображена функция y=f(x) и есть касательная к этой

Для того чтобы найти значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0\), где присутствует касательная к графику функции в данной точке, мы можем воспользоваться определением производной.

Производная функции в точке \(x_0\) определяется как предел отношения изменения функции к изменению её аргумента при стремлении изменения аргумента к нулю:

\[f"(x_0) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{{f(x_0 + h) - f(x_0)}}{h}\]

Рассмотрим график функции \(y=f(x)\) и касательную к ней в точке \(x_0\):

\[graph\]

Для нахождения значения производной функции в точке \(x_0\) перейдём к касательной. Поскольку касательная представляет собой прямую, мы можем использовать уравнение прямой для её нахождения.

Уравнение прямой можно записать в следующем виде:

\[y = mx + b\]

где \(m\) - это угловой коэффициент (производная функции в точке \(x_0\)), а \(b\) - это свободный член (точка пересечения касательной с осью \(y\)).

Так как касательная проходит через точку \((x_0, f(x_0))\), мы можем подставить эти значения в уравнение прямой:

\[f(x_0) = m \cdot x_0 + b\]

Затем мы можем найти угловой коэффициент \(m\) для касательной, взяв производную функции \(f(x)\) и подставив значение \(x_0\):

\[m = f"(x_0)\]

Таким образом, значение производной функции в точке \(x_0\) будет являться угловым коэффициентом касательной к графику функции в этой точке.

Для большей ясности и лучшего понимания, решим задачу на конкретном примере. Выберем функцию \(f(x) = x^2\) и точку \(x_0 = 2\).

Найдем значение производной функции в точке \(x_0\):

\[
\begin{align*}
f"(x_0) &= \lim\limits_{h \to 0} \frac{{f(x_0 + h) - f(x_0)}}{h} \\
&= \lim\limits_{h \to 0} \frac{{(2+h)^2 - 2^2}}{h} \\
&= \lim\limits_{h \to 0} \frac{{4h + h^2}}{h} \\
&= \lim\limits_{h \to 0} (4 + h) \\
&= 4
\end{align*}
\]

Таким образом, значение производной функции \(f(x) = x^2\) в точке \(x_0 = 2\) равно 4.

Далее, найдем уравнение касательной к графику функции \(y = f(x) = x^2\) в точке \(x_0 = 2\):

\[y = mx + b\]

Подставим координаты точки \((2, f(2))\) в это уравнение:

\[f(2) = 4 = 2 \cdot m + b\]

Теперь мы можем найти угловой коэффициент \(m\), который является значением производной функции в точке \(x_0 = 2\):

\[4 = 2 \cdot m + b\]

Подставим \(m = 4\) и найдем \(b\):

\[4 = 2 \cdot 4 + b\]
\[4 = 8 + b\]
\[b = -4\]

Таким образом, уравнение касательной к функции \(y = f(x) = x^2\) в точке \(x_0 = 2\) имеет вид:

\[y = 4x - 4\]

Надеюсь, эта подробная и обстоятельная информация помогла вам понять, как найти значение производной функции в точке \(x_0\) и получить уравнение касательной к графику функции в этой точке.