Какова мера угла между диагоналями параллелограмма abcd, если векторы ab(3; 4) и ad(4; 3) являются его сторонами?

Для нахождения меры угла между диагоналями параллелограмма abcd, мы можем использовать свойство векторов в параллелограмме. Параллелограмм имеет следующие свойства:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны по длине.
2. Противоположные углы параллелограмма равны по мере.

Дано, что векторы ab и ad являются сторонами параллелограмма. Это означает, что сторона ab параллельна стороне dc, и сторона ad параллельна стороне bc.

Мы можем использовать меру угла между векторами ab и ad для определения меры угла между диагоналями параллелограмма abcd.

Мы можем использовать формулу скалярного произведения векторов для нахождения меры угла между векторами ab и ad:

\[\cos(\theta) = \frac{{\vec{ab} \cdot \vec{ad}}}{{|\vec{ab}| \cdot |\vec{ad}|}}\]

Где \(\theta\) - мера угла между векторами ab и ad, \(\vec{ab}\) и \(\vec{ad}\) - векторы ab и ad соответственно, и \(|\vec{ab}|\) и \(|\vec{ad}|\) - длины векторов ab и ad.

Рассчитаем значения:

Длина вектора ab:
\[|\vec{ab}| = \sqrt{{3^2 + 4^2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

Длина вектора ad:
\[|\vec{ad}| = \sqrt{{4^2 + 3^2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\]

Скалярное произведение векторов ab и ad:
\[\vec{ab} \cdot \vec{ad} = 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 12 + 12 = 24\]

Подставим значения в формулу для \(\cos(\theta)\):
\[\cos(\theta) = \frac{{\vec{ab} \cdot \vec{ad}}}{{|\vec{ab}| \cdot |\vec{ad}|}} = \frac{{24}}{{5 \cdot 5}} = \frac{{24}}{{25}}\]

Чтобы найти меру угла \(\theta\), мы можем использовать обратную функцию косинуса (арккосинус):
\[\theta = \cos^{-1}\left(\frac{{24}}{{25}}\right)\]

Используя калькулятор или таблицу арккосинусов, мы находим:
\[\theta \approx 23.58^\circ\]

Таким образом, мера угла между диагоналями параллелограмма abcd составляет примерно 23.58 градусов.