Каково значение производной функции F(x) = 51n x - 4 корень x + 8 в точке х0 = 0.25?

Хорошо, чтобы найти значение производной функции F(x) в заданной точке x₀ = 0.25, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдём производные каждого слагаемого в нашей функции.

Для слагаемого 51n x, возьмём производную по правилу дифференцирования степенной функции и цепного правила:

\[\frac{d}{dx} (51n x) = 51n \cdot \frac{d}{dx} (x)\]

По правилу дифференцирования степенной функции:

\(\frac{d}{dx} (x) = 1\)

Подставляем этот результат:

\[\frac{d}{dx} (51n x) = 51n \cdot 1 = 51n\]

Для слагаемого -4 корень x, возьмём производную:

\[\frac{d}{dx} (-4 \sqrt{x}) = -4 \cdot \frac{d}{dx} (\sqrt{x})\]

По правилу дифференцирования степенной функции:

\(\frac{d}{dx} (\sqrt{x}) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}\)

Подставляем этот результат:

\[\frac{d}{dx} (-4 \sqrt{x}) = -4 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} = -\frac{2}{\sqrt{x}}\]

Для слагаемого 8, производная будет равна нулю, так как это константа.

Шаг 2: Сложим производные слагаемых, чтобы получить производную функции F(x):

\[F"(x) = 51n -\frac{2}{\sqrt{x}}\]

Шаг 3: Найдём значение производной функции F(x) в заданной точке x₀ = 0.25.

\[F"(0.25) = 51n -\frac{2}{\sqrt{0.25}}\]

Выражение \(\sqrt{0.25}\) равно 0.5, поэтому можно провести вычисления:

\[F"(0.25) = 51n -\frac{2}{0.5} = 51n - 4 = -4 + 51n\]

Таким образом, значение производной функции F(x) в точке x₀ = 0.25 равно \( -4 + 51n \).