Каково значение производной функции f в точке x = 2, если f(x) = x^2 * log2?

Хорошо, рассмотрим эту задачу подробно.

Итак, нам дана функция \(f(x) = x^2 \cdot \log_2 x\), и мы хотим найти значение производной этой функции в точке \(x = 2\).

Для нахождения производной функции придерживаемся следующих шагов:

Шаг 1: Найдем первую производную функции \(f(x)\). Для этого мы будем использовать правило производной произведения функций, а именно правило производной произведения двух функций \(u(x) \cdot v(x)\), которое гласит:

\((u \cdot v)" = u" \cdot v + u \cdot v"\)

Здесь мы представляем \(u(x)\) как \(x^2\) и \(v(x)\) как \(\log_2 x\). Таким образом, у нас есть:

\(f"(x) = (x^2 \cdot \log_2 x)" = (x^2)" \cdot \log_2 x + x^2 \cdot (\log_2 x)"\)

Шаг 2: Вычислим производные правых выражений:

Дифференцируем сначала \(x^2\). Применяем правило производной степенной функции, которое гласит:

\((x^n)" = n \cdot x^{n-1}\)

Используя это правило, получим:

\((x^2)" = 2 \cdot x^{2-1} = 2x\)

Дифференцируем теперь \(\log_2 x\). Здесь мы используем правило производной логарифма, которое гласит:

\((\log_a x)" = \frac{1}{x \cdot \ln a}\)

Здесь \(a\) - основание логарифма, в данном случае основание равно 2. Следовательно, имеем:

\((\log_2 x)" = \frac{1}{x \cdot \ln 2}\)

Шаг 3: Подставим производные обратно в формулу производной функции \(f"(x)\):

\(f"(x) = (x^2)" \cdot \log_2 x + x^2 \cdot (\log_2 x)" = 2x \cdot \log_2 x + x^2 \cdot \frac{1}{x \cdot \ln 2}\)

Шаг 4: Теперь, чтобы найти значение производной в точке \(x = 2\), подставим \(x = 2\) в полученное выражение:

\(f"(2) = 2 \cdot 2 \cdot \log_2 2 + 2^2 \cdot \frac{1}{2 \cdot \ln 2}\)

Заметим, что \(\log_2 2 = 1\) и \(\ln 2\) - это натуральный логарифм числа 2.

\(f"(2) = 4 \cdot 1 + 4 \cdot \frac{1}{2 \cdot \ln 2}\)

Шаг 5: Выполняем необходимые вычисления:

\(f"(2) = 4 + 4 \cdot \frac{1}{2 \cdot \ln 2}\)

Так как \(\ln 2 \approx 0.6931\), то:

\(f"(2) = 4 + 4 \cdot \frac{1}{2 \cdot 0.6931} \approx 4 + 4 \cdot \frac{1}{1.3862} \approx 4 + 2.8873 \approx 6.8873\)

Таким образом, значение производной функции \(f\) в точке \(x = 2\) равно примерно \(6.8873\).

Обратите внимание, что эти вычисления основываются на математических правилах и формулах. Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь вам!