Каково значение переменной a и какова длина высоты, проведённой к гипотенузе, если известно, что стороны прямоугольного

Чтобы решить данную задачу о прямоугольном треугольнике, нам необходимо использовать теорему Пифагора. Согласно этой теореме, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Из условия задачи, стороны прямоугольного треугольника заданы числами \(a\), \(a-20\) и \(a+20\). Давайте обозначим катеты как \(a\) и \(a-20\), а гипотенузу как \(a+20\).

Теперь мы можем записать уравнение на основе теоремы Пифагора:
\((a)^2 + (a-20)^2 = (a+20)^2\)

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем:
\(a^2 + a^2 - 40a + 400 = a^2 + 40a + 400\)

Упростим уравнение, отбрасывая одинаковые слагаемые:
\(a^2 - 40a + 400 = 40a + 400\)

Теперь вычтем \(40a\) и \(400\) с обеих сторон уравнения:
\(a^2 - 80a = 0\)

Дальше факторизуем этот квадратный трёхчлен по формуле с но бота:
\(a(a - 80) = 0\)

Теперь решим полученное уравнение. Оно будет иметь два решения:
\(a = 0\) и \(a = 80\)

Если \(a = 0\), то треугольник не будет иметь ненулевых сторон, поэтому это не подходит для нашей задачи.

Остаётся только одно решение: \(a = 80\).

Подставим \(a = 80\) в исходное уравнение, чтобы найти длину высоты, проведённой к гипотенузе.
\((80)^2 + (80-20)^2 = (80+20)^2\)

Раскрывая скобки и сокращая, получаем:
\(6400 + 3600 = 10000\)

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, что означает, что наше решение верно.

Таким образом, значение переменной \(a\) равно \(80\), а длина высоты, проведённой к гипотенузе, равна \(\sqrt{10000} = 100\) (по теореме Пифагора).