Каково значение отношения 19*a25/a10, если в арифметической прогрессии S25/S10=25/4?

Дано, что отношение сумм первых 25 и первых 10 членов арифметической прогрессии равно 25/4. Нам нужно найти значение отношения 19*a25/a10, где a25 и a10 - соответственно 25-й и 10-й члены этой прогрессии.

Давайте разберемся, как можно решить эту задачу.

1. Мы знаем, что сумма первых n членов арифметической прогрессии выражается формулой: S(n) = (n/2) * (a(1) + a(n)), где S(n) - сумма первых n членов, a(1) - первый член, a(n) - n-й член.

2. Используя формулу для суммы первых 25 и первых 10 членов, получаем следующее соотношение: S(25)/S(10) = (25/4).

Подставим формулу для суммы: [(25/2) * (a(1) + a(25))] / [(10/2) * (a(1) + a(10))] = (25/4).

Упростим выражение, уберем общие множители, и получим: (25 * (a(1) + a(25))) / (10 * (a(1) + a(10))) = (25/4).

3. Теперь мы хотим найти значение отношения 19*a25/a10. Заметим, что 19*a25 можно записать как (a(1) + 18d) * a25, где d - разность прогрессии. Аналогично, a10 = a(1) + 9d.

Используя полученные выражения, мы можем переписать исходное отношение следующим образом: (a(1) + 18d) * a25 / (a(1) + 9d).

4. Теперь мы можем использовать найденное ранее соотношение: (25 * (a(1) + a(25))) / (10 * (a(1) + a(10))) = (25/4).

Подставим значения a25 и a10, выраженные через a(1) и d, и получим: (25 * (a(1) + (a(1) + 18d))) / (10 * (a(1) + (a(1) + 9d))) = (25/4).

Упростим числители и знаменатели, уберем общие множители, и получим: (43a(1) + 450d) / (20a(1) + 90d) = (25/4).

5. Теперь у нас есть уравнение с двумя неизвестными a(1) и d. Мы можем использовать другую информацию, чтобы его решить.

Давайте вспомним, что арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается путем прибавления к предыдущему числу одной и той же разности. Запишем это в виде уравнения: a(n) = a(1) + (n-1)d, где a(n) - n-й член, n - порядковый номер члена.

6. Мы можем использовать это уравнение, чтобы найти значения a(1) и d.

Используя формулу для a(10), получим: a(10) = a(1) + 9d.

Используя формулу для a(25), получим: a(25) = a(1) + 24d.

7. Теперь мы имеем систему из двух уравнений:
- (43a(1) + 450d) / (20a(1) + 90d) = (25/4) (полученное ранее уравнение)
- a(10) = a(1) + 9d
- a(25) = a(1) + 24d

Решим эту систему уравнений методом подстановки или методом сложения/вычитания.

8. Как только мы найдем значения a(1) и d, мы можем вернуться к исходному отношению 19*a25/a10 и подставить значения. Ответ будет найден.

Предлагаю обсудить каждый шаг вместе с школьником, чтобы ему было более понятно и интересно.