Продемонстрируйте эквивалентность выражений (2у+1/у2+6у+9-у-2/у2+3у): у2+6/у3-9у=у-3/у+3​

Хорошо, рассмотрим данное выражение и продемонстрируем его эквивалентность с помощью пошагового решения:

Данное выражение: \(\frac{2у+1}{у^2+6у+9} - \frac{у-2}{у^2+3у} : \frac{у^2+6}{у^3-9у} = \frac{у-3}{у+3}\)

1. Начнем с вычисления всех выражений в числителе и знаменателе, чтобы упростить выражения:

Числитель первой дроби: \(2у + 1\)
Знаменатель первой дроби: \(у^2 + 6у + 9\)

Числитель второй дроби: \(у - 2\)
Знаменатель второй дроби: \(у^2 + 3у\)

Знаменатель третьей дроби: \(у^2 + 6\)
Числитель третьей дроби: \(у^3 - 9у\)

2. Теперь рассмотрим каждую дробь отдельно и упростим их выражения:

Разложение знаменателя первой дроби:
\(у^2 + 6у + 9 = (у+3)^2\)

Разложение знаменателя второй дроби:
\(у^2 + 3у = у(у + 3)\)

Разложение числителя третьей дроби:
\(у^3 - 9у = у(у^2 - 9) = у(у+3)(у-3)\)

3. Теперь заменим значения дробей на их эквивалентные выражения:

Исходное выражение: \(\frac{2у+1}{(у+3)^2} - \frac{у-2}{у(у+3)} : \frac{(у+3)(у-3)}{(у+3)(у+3)} = \frac{у-3}{у+3}\)

4. Упростим и рационализируем исходное выражение:

Разделим первую дробь на \(у+3\) и умножим на \(у\):
\(\frac{2у+1}{у+3} * \frac{у}{у} = \frac{2у^2 + у}{у^2+3у}\)

Разделим вторую дробь на \(у+3\) и домножим на \(-1\):
\(\frac{у-2}{у+3} * \frac{-1}{-1} = \frac{2-у}{у+3}\)

Поделим третью дробь на \(у+3\) и разделим на \(у\):
\(\frac{у-3}{у+3} * \frac{1}{у} = \frac{у-3}{у(у+3)}\)

Исходное выражение теперь принимает вид:
\(\frac{2у^2 + у}{у^2+3у} - \frac{2-у}{у+3} : \frac{у-3}{у(у+3)}\)

5. Уберем двоеточие и заменим деление на умножение на обратное число:
\(\frac{2у^2 + у}{у^2+3у} * \frac{у(у+3)}{у-3} = \frac{(2у^2+у)у(у+3)}{(у^2+3у)(у-3)}\)

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:
\(\frac{у(2у+1)(у+3)}{(у+3)(у-3)}\)

6. Знаменатели снова сокращаются, оставляя ответ:
\(у(2у+1) : (у-3)\)

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение эквивалентно выражению \(у(2у+1) : (у-3)\).