Каково значение момента инерции тонкого однородного стержня длиной l = 1 м и массой m = 0,5 кг с прикрепленным к нему

Окей, давайте решим эту задачу.

Момент инерции \(I\) точки относительно оси вращения можно выразить как произведение массы точки на квадрат её расстояния до оси вращения. В данном случае у нас есть стержень длиной \(l\) и груз массой \(2m\) прикрепленный к нему. Для начала, выразим массу стержня через его длину и массу груза.

Масса стержня \(m_{\text{ст}}\) равна половине массы груза, поскольку груз в два раза тяжелее стержня. Таким образом, \(m_{\text{ст}} = \frac{1}{2} \cdot 2m = m\).

Теперь мы можем найти момент инерции стержня относительно оси вращения. Для тонкого однородного стержня, момент инерции можно выразить как \(\frac{1}{3} m_{\text{ст}} l^2\).

Подставляя значения, получаем:

\[I_{\text{ст}} = \frac{1}{3} m_{\text{ст}} l^2 = \frac{1}{3} m l^2\]

Теперь найдем момент инерции груза относительно той же оси. Поскольку груз считается точечной массой, момент инерции точки массой \(2m\) равен \(m_{\text{гр}} r^2\), где \(r\) - расстояние от оси вращения до груза.

На рисунке видно, что расстояние \(r\) равно половине длины стержня \(l/2\). Поэтому, момент инерции груза будет равен:

\[I_{\text{гр}} = m_{\text{гр}} r^2 = 2m \cdot \left(\frac{l}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} m l^2\]

Чтобы найти общий момент инерции системы, нужно просуммировать моменты инерции стержня и груза:

\[I_{\text{общий}} = I_{\text{ст}} + I_{\text{гр}} = \frac{1}{3} m l^2 + \frac{1}{2} m l^2 = \frac{5}{6} m l^2\]

Таким образом, значение момента инерции тонкого однородного стержня длиной \(l = 1\) м и массой \(m = 0,5\) кг с прикрепленным к нему грузом массой \(2m\) относительно оси ОО′ равно \(\frac{5}{6} \cdot 0,5 \cdot 1^2 = \frac{5}{12}\) кг·м².