Каково значение циркуляции вектора магнитной индукции вдоль контура Г сформированного концентрической с проводником

Для решения данной задачи, давайте начнем с основных понятий. Циркуляция вектора магнитной индукции вдоль контура определяется как интеграл от скалярного произведения вектора магнитной индукции \(\vec{B}\) и элемента контура \(\mathrm{d}\vec{l}\) по всей длине контура. Формулой для циркуляции можно записать следующим образом:

\[
\oint \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{l}
\]

Теперь рассмотрим конкретную ситуацию с проводником окружности. По закону Био-Савара-Лапласа, магнитное поле \(\vec{B}\) в любой точке на расстоянии \(r\) от проводника может быть выражено следующей формулой:

\[
B = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{2 \cdot R}}
\]

где \(\mu_0\) - магнитная постоянная, \(I\) - сила тока, а \(R\) - радиус проводника. Здесь учтено, что магнитное поле создается каждым элементом проводника и складывается в итоговое поле.

Теперь важно учесть, что по определению циркуляции, мы должны учитывать векторное произведение \(\vec{B}\) и \(\mathrm{d}\vec{l}\), где \(\mathrm{d}\vec{l}\) будет перпендикулярно к проводнику. В данном случае, так как контур Г является окружностью, элемент контура \(\mathrm{d}\vec{l}\) будет перпендикулярен к радиусу окружности и будет совпадать с самим радиусом. Следовательно, можно записать:

\[
\vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = B \cdot \mathrm{d}l
\]

где \(\mathrm{d}l\) это длина элемента контура.

Теперь, чтобы найти значение циркуляции, мы должны интегрировать выражение \(\vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{l}\) по всей окружности контура Г. Так как контур Г является концентрическим с проводником, радиусом \(r > R\), для расчета циркуляции на всем контуре мы должны интегрировать выражение от \(R\) до \(r\):

\[
\oint \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = \int_{R}^{r} B \cdot \mathrm{d}l
\]

Для удобства вычислений, мы можем использовать параметризацию окружности контура Г с использованием угла \(\theta\).

\[
\vec{r} = R\cos(\theta)\vec{i} + R\sin(\theta)\vec{j}
\]

где \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\) - орты координатных осей.

Теперь мы можем выразить \(\mathrm{d}\vec{l}\) и \(\mathrm{d}l\) через угол \(\theta\):

\[
\mathrm{d}\vec{l} = \frac{d\vec{r}}{d\theta} \cdot d\theta = -R\sin(\theta)d\theta\vec{i} + R\cos(\theta)d\theta\vec{j}
\]

\[
\mathrm{d}l = \left| \mathrm{d}\vec{l} \right| = R\cdot d\theta
\]

Теперь мы готовы подставить все выражения в интеграл циркуляции и произвести вычисления:

\[
\oint \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = \int_{R}^{r} B \cdot \mathrm{d}l = \int_{R}^{r} \left( \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{2 \cdot R}} \right) \cdot R \cdot d\theta
\]

\[
= \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{2}} \int_{R}^{r} d\theta = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{2}} \cdot (\theta\Big|_{R}^{r}) = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{2}} \cdot (\theta_2 - \theta_1)
\]

Здесь \(\theta_2\) и \(\theta_1\) - углы, соответствующие конечной и начальной точкам контура Г.

Итак, значение циркуляции вектора магнитной индукции вдоль контура Г равно \(\frac{{\mu_0 \cdot I}}{{2}} \cdot (\theta_2 - \theta_1)\).

Надеюсь, я смог детально объяснить как получить значение циркуляции для данной задачи. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!