Каково значение бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды, если высота равна корню из 6 см и боковое ребро

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится применить теорему Пифагора и тригонометрию.

Дано, что высота пирамиды равна корню из 6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов.

1. Найдем длину основания пирамиды.
Так как пирамида правильная, основание является квадратом. Обозначим сторону основания как \(a\).
Так как основание — квадрат, то его диагонали равны и делятся пополам высотой пирамиды.
Из свойств прямоугольного треугольника получаем:
\[a^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\]
\[a^2 = 6 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\]
\[a^2 = 6 + \frac{a^2}{4}\]
\[4a^2 = 24 + a^2\]
\[3a^2 = 24\]
\[a^2 = 8\]
\[a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]
Таким образом, сторона основания пирамиды равна \(2\sqrt{2}\) см.

2. Найдем длину бокового ребра пирамиды.
Поскольку боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов, мы можем разделить его на две составляющие: одна будет проекцией ребра на основание пирамиды, а другая — высотой пирамиды.
Теперь мы можем применить тригонометрию. Обозначим длину бокового ребра как \(b\).
Проекция бокового ребра на плоскость основания будет равна \(b \cos(60^\circ) = \frac{b}{2}\).
Таким образом, получаем:
\[\left(\frac{b}{2}\right)^2 + h^2 = b^2\]
\[\left(\frac{b}{2}\right)^2 + 6 = b^2\]
\[\frac{b^2}{4} + 6 = b^2\]
\[b^2 + 24 = 4b^2\]
\[3b^2 = 24\]
\[b^2 = 8\]
\[b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]
Таким образом, длина бокового ребра пирамиды равна \(2\sqrt{2}\) см.

3. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.
Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти с помощью формулы:
\[S = \frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times \text{высота треугольника} = \frac{1}{2} \times 4a \times h\]
Подставляя значения, получаем:
\[S = \frac{1}{2} \times 4 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}\]
\[S = 4\sqrt{12} = 4\sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}\]
Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна \(8\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.

Таким образом, значение бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равно \(2\sqrt{2}\) сантиметра, а площадь боковой поверхности пирамиды равна \(8\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.