Какова высота конуса, расстояние от центра основания до плоскости сечения и площадь полной поверхности конуса, если

Давайте начнем с определения основных характеристик конуса. В данной задаче у нас есть угол ${60}^{\circ }$, образованный плоскостью сечения и плоскостью основания конуса. Мы также знаем длину горизонтальной хорды $AB$, которая равна 16 см, и радиус основания конуса. Мы должны найти высоту конуса, расстояние от центра основания до плоскости сечения и площадь полной поверхности конуса.

Найдем высоту конуса:

1. Возьмем треугольник $ABC$, где $A$ и $B$ - точки, в которых горизонтальная хорда $AB$ пересекает окружность основания конуса. Так как горизонтальная хорда является диаметром окружности, то у нас имеется прямоугольный треугольник $ABC$, где гипотенуза – это $AB$.

2. Найдем длину основания треугольника $AC$ и длину его высоты $AD$.

Так как угол ${60}^{\circ }$ является центральным углом, то он в два раза больше угла любого другого треугольника, образованного одной из сторон треугольника и дугой окружности между этими сторонами.

3. $\angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ $. (1)

4. Отсюда следует, что угол $ACB=\frac{1}{2}\cdot {30}^{\circ }={15}^{\circ }$. (2)

5. $\angle ADC = 90^\circ - \frac{1}{2} \cdot 15^\circ = 90^\circ - 7.5^\circ = 82.5^\circ$. (3)

6. В треугольнике $ADC$ мы имеем прямой угол $\mathrm{\angle }ADC={90}^{\circ }$, угол $ACD=82,5^{\circ }$ и гипотенузу $AC$, равную радиусу основания конуса.

7. Найдем длину основания треугольника $AC$. Для этого воспользуемся тригонометрическим соотношением тангенса в прямоугольном треугольнике:

$AC=\frac{DC}{\tan (\mathrm{\angle }ACD)}=\frac{CD}{\tan ({82.5}^{\circ })}$.

8. Округлим значение $AC$ до ближайшего целого числа.

Теперь мы можем найти высоту конуса, используя найденное значение $AC$ и формулу для объема конуса $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$.

Чтобы найти расстояние от центра основания до плоскости сечения, воспользуемся найденными значениями для высоты конуса и радиуса основания. Оно будет равно разности высоты конуса и радиуса основания.

Наконец, чтобы найти площадь полной поверхности конуса, нужно найти площадь его основания и площадь боковой поверхности, а затем сложить их. Площадь основания - это площадь круга с радиусом основания, а площадь боковой поверхности - это площадь треугольника, образованного боковой поверхностью конуса и плоскостью сечения.

Вот подробное решение задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, - не стесняйтесь задавать их!