Каково выражение для вектора ВD через векторы b и c, если вектор Av

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства векторов и основные операции над ними.

Векторное уравнение, данное условием задачи, выглядит следующим образом:

\( \overrightarrow{A} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \)

Мы хотим найти выражение для вектора \( \overrightarrow{BD} \) через векторы \( \overrightarrow{b} \) и \( \overrightarrow{c} \).

Для начала посмотрим на треугольник ABC, где \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} \) и \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c} \).

Так как вектор \( \overrightarrow{BD} \) является разностью векторов \( \overrightarrow{BA} \) и \( \overrightarrow{DA} \), то имеем:

\( \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{DA} \)

Вектор \( \overrightarrow{BA} \) равен противоположному вектору \( \overrightarrow{AB} \), поэтому:

\( \overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} \)

Так как вектор \( \overrightarrow{DA} \) является разностью векторов \( \overrightarrow{DA} \) и \( \overrightarrow{AC} \), то имеем:

\( \overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{AB} - (\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{AC}) \)

Заменяем вектор \( \overrightarrow{AB} \) и упрощаем выражение:

\( \overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{b} - (\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{AC}) \)

По условию, вектор \( \overrightarrow{A} \) равен векторной сумме \( \overrightarrow{b} \) и \( \overrightarrow{c} \):

\( \overrightarrow{A} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \)

Следовательно, имеем:

\( \overrightarrow{c} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{b} \)

Подставляем это в выражение для \( \overrightarrow{BD} \):

\( \overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{b} - (\overrightarrow{DA} - (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{b})) \)

Теперь упростим это выражение:

\( \overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{b} - (\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{A} + \overrightarrow{b}) \)

\( \overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{b} - \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{A} - \overrightarrow{b} \)

Сгруппируем похожие векторы:

\( \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{A} - (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{b}) - \overrightarrow{b} \)

Таким образом, выражение для вектора \( \overrightarrow{BD} \) через векторы \( \overrightarrow{b} \) и \( \overrightarrow{c} \) будет:

\[ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{A} - (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{b}) - \overrightarrow{b} \]