Каково выражение для момента результирующей силы относительно точки, когда небольшое тело массой m начинает скользить

В данной задаче мы рассматриваем момент результирующей силы, возникающей при скольжении небольшого тела массой \(m\) по гладкой наклонной плоскости высотой \(h\) и углом \(\phi\) у основания.

Для начала, давайте определим, какие силы действуют на тело при скольжении. На тело действуют сила тяжести \(mg\) направленная вертикально вниз, нормальная реакция опоры \(N\) перпендикулярная к поверхности плоскости и сила трения \(f\) параллельная плоскости и противоположно направленная движению тела.

Используя теорему о моментах сил, мы можем вычислить момент результирующей силы относительно заданной точки. Для этого нам необходимо знать расстояние от этой точки до линии действия каждой силы и модуль каждой силы.

1. Момент силы тяжести:
Модуль силы тяжести равен \(mg\), а расстояние от точки до линии действия силы тяжести равно проекции высоты \(h\) на отрезок между основанием и этой точкой, то есть \(h \cdot \sin(\phi)\). Следовательно, момент силы тяжести равен \(M_{\text{тяж}}} = (mg) \cdot (h \cdot \sin(\phi))\).

2. Момент силы нормальной реакции:
Поскольку нормальная реакция \(N\) проходит через точку опоры, то момент этой силы равен нулю, так как расстояние от точки до линии действия нормальной реакции равно нулю.

3. Момент силы трения:
Модуль силы трения \(f\) равен \(f = \mu \cdot N\), где \(\mu\) - коэффициент трения между поверхностями тела и плоскости. Расстояние от точки до линии действия силы трения равно проекции высоты \(h\) на отрезок между основанием и этой точкой, то есть \(h \cdot \cos(\phi)\). Следовательно, момент силы трения равен \(M_{\text{тр}}} = (f) \cdot (h \cdot \cos(\phi)) = (\mu \cdot N) \cdot (h \cdot \cos(\phi))\).

Теперь мы можем выразить момент результирующей силы относительно заданной точки как сумму моментов каждой силы:

\[M_{\text{рез}}} = M_{\text{тяж}}} + M_{\text{тр}}} = (mg) \cdot (h \cdot \sin(\phi)) + (\mu \cdot N) \cdot (h \cdot \cos(\phi))\].

Это выражение позволяет рассчитать момент результирующей силы относительно заданной точки при скольжении небольшого тела по гладкой наклонной плоскости.