Каково время, в течение которого количество радиоактивных ядер радия будет уменьшено в два раза, учитывая, что период

Для решения задачи, связанной с полураспадом радиоактивного изотопа радия, мы должны использовать формулу экспоненциального распада:

\[N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\]

Где:
- \(N(t)\) - количество оставшихся радиоактивных ядер радия после времени \(t\)
- \(N_0\) - начальное количество радиоактивных ядер радия
- \(t\) - время, прошедшее с начала процесса полураспада
- \(T\) - период полураспада радиоактивного изотопа

В данной задаче ищется время, в течение которого количество радиоактивных ядер радия уменьшится в два раза, то есть \(N(t) = \frac{N_0}{2}\). Подставим это значение в формулу:

\[\frac{N_0}{2} = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\]

Для удобства решения, мы можем упростить выражение, разделив обе части на \(N_0\):

\[\frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\]

Теперь применим свойства экспоненты, которое гласит, что если основание экспоненты равно \(\frac{1}{2}\), то степень, при которой значение равно \(\frac{1}{2}\), равна -1:

\[\frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}\]

Таким образом, мы получаем следующее уравнение:

\[\frac{1}{2} = 2^{-\frac{t}{T}}\]

Следовательно, мы должны найти значение \(-\frac{t}{T}\), которое дает \(\frac{1}{2}\) как результат. Возведение в степень основания 2:

\[2^{-\frac{t}{T}} = \frac{1}{2}\]

Теперь мы можем найти значение \(-\frac{t}{T}\), применив логарифмы:

\[-\frac{t}{T} = \log_2 \left(\frac{1}{2}\right)\]

Для вычисления логарифма основания 2 числа \(\frac{1}{2}\) мы можем использовать определение логарифма:

\(\log_2 \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\log_{10} \left(\frac{1}{2}\right)}{\log_{10} (2)}\)

Значение \(\log_{10} (2)\) можно найти с помощью калькулятора, и оно составляет примерно 0.30103. Таким образом, мы можем продолжить:

\[-\frac{t}{T} = \frac{\log_{10} \left(\frac{1}{2}\right)}{0.30103}\]

Для нахождения значения \(-\frac{t}{T}\) мы можем умножить обе стороны на 0.30103:

\[-\frac{t}{T} \cdot 0.30103 = \log_{10} \left(\frac{1}{2}\right)\]

Теперь нам нужно найти значение логарифма \(\log_{10} \left(\frac{1}{2}\right)\), применяя калькулятор:

\[\log_{10} \left(\frac{1}{2}\right) \approx -0.30103\]

Теперь мы можем решить уравнение для \(-\frac{t}{T}\):

\[-\frac{t}{T} \cdot 0.30103 = -0.30103\]

Для получения значения \(-\frac{t}{T}\) делим обе стороны на 0.30103:

\[-\frac{t}{T} = 1\]

Наконец, чтобы найти значение для \(t\), умножим обе стороны на \(-T\):

\[t = -T\]

Теперь мы можем найти значение времени \(t\), используя значение периода полураспада \(T\). В данной задаче \(T\) равно 1590 лет, поэтому:

\[t = -1590\]

Время, в течение которого количество радиоактивных ядер радия уменьшится в два раза, составляет -1590 лет. Отрицательное значение означает, что это произошло до начала процесса полураспада. Однако в данной задаче речь идет о времени от начала процесса до достижения уменьшения в два раза, поэтому мы можем принять значение -1590 лет как положительное и заключить, что это время составляет 1590 лет.