Каково время t, которое требуется алюминиевому шарику радиусом 2 мм для преодоления расстояния 10 см в глицерине

Данная задача связана с движением шарика в глицерине. Для решения задачи, нам необходимо использовать закон Стокса, который описывает движение сферического тела в вязкой среде. Этот закон гласит, что сила сопротивления \(F\) прямо пропорциональна скорости движения тела \(v\) и вязкости среды \(\eta\), а также обратно пропорциональна радиусу шарика \(r\). Формула для силы сопротивления будет выглядеть следующим образом:

\[ F = 6\pi\eta rv \]

Где:
\(F\) - сила сопротивления,
\(\pi\) - математическая константа (пи),
\(\eta\) - динамическая вязкость глицерина,
\(r\) - радиус шарика,
\(v\) - скорость движения шарика.

Сила сопротивления также может быть записана через разность сил веса погруженного в глицерин шарика \(W_{\text{ал}}\) и силы Архимеда \(F_a\):

\[ F = W_{\text{ал}} - F_a \]

Сила Архимеда определяется разностью плотности алюминия и плотности глицерина, умноженной на объем шарика \(V\):

\[ F_a = (\rho_{\text{гл}}-\rho_{\text{ал}})Vg \]

Где:
\(F_a\) - сила Архимеда,
\(\rho_{\text{гл}}\) - плотность глицерина,
\(\rho_{\text{ал}}\) - плотность алюминия,
\(V\) - объем шарика,
\(g\) - ускорение свободного падения.

Чтобы найти объем шарика, воспользуемся формулой для объема сферы:

\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]

Для преодоления расстояния 10 см через глицерин, шарик должен двигаться со скоростью \(v\). Следовательно, итоговая формула будет:

\[ 6\pi\eta rv = (\rho_{\text{гл}}-\rho_{\text{ал}})Vg \]

Мы можем выразить скорость \(v\) через данное уравнение:

\[ v = \frac{(\rho_{\text{гл}}-\rho_{\text{ал}})Vg}{6\pi\eta r} \]

Теперь мы можем решить данную задачу. Подставим все известные значения:

\(\rho_{\text{гл}} = 1,26 \, \text{г/см}^3\),
\(\rho_{\text{ал}} = 2,7 \, \text{г/см}^3\),
\(\eta = 1,48 \, \text{Па*с}\),
\(r = 2 \, \text{мм} = 0,2 \, \text{см}\),
\(g = 9,8 \, \text{м/с}^2\).

Подставим все значения в уравнение и решим его:

\[ v = \frac{(1,26-2,7)\cdot\left(\frac{4}{3}\pi (0,2)^3\right)\cdot9,8}{6\pi\cdot1,48\cdot0,2} \]

Упростим выражение в числителе и знаменателе:

\[ v = \frac{-1,44\pi\cdot0,008\cdot9,8}{0,3728\pi} \]

Сократим \(\pi\):

\[ v = \frac{-1,44\cdot0,008\cdot9,8}{0,3728} \]

Посчитаем числитель:

\[ v = \frac{-0,112896}{0,3728} \]

Вычислим значение \(v\):

\[ v \approx -0,30296 \, \text{см/с} \]

Ответ: Чтобы преодолеть расстояние 10 см в глицерине, алюминиевому шарику радиусом 2 мм при постоянной скорости падения потребуется около 0,30296 секунд. Учитывайте знак минус, который указывает на то, что направление движения шарика будет противоположным направлению силы сопротивления.