Каково ускорение свободного падения на планете, масса которой превышает массу Земли на 200 %, а радиус больше земного

Ускорение свободного падения на планете можно рассчитать с помощью закона всемирного тяготения. Согласно этому закону, ускорение свободного падения зависит от массы планеты и её радиуса.

Дано, что ускорение свободного падения на Земле равно 10 м/с^2. Обозначим это значение как \(g_{\text{ЗЕМЛИ}}\).

Мы знаем, что масса планеты превышает массу Земли на 200 %. Обозначим массу Земли как \(m_{\text{ЗЕМЛИ}}\). Тогда массу планеты можно выразить как \(m_{\text{ПЛАНЕТЫ}} = m_{\text{ЗЕМЛИ}} + 2 \cdot m_{\text{ЗЕМЛИ}} = 3 \cdot m_{\text{ЗЕМЛИ}}\).

Также дано, что радиус планеты больше земного на 100 %. Обозначим радиус Земли как \(r_{\text{ЗЕМЛИ}}\). Тогда радиус планеты можно выразить как \(r_{\text{ПЛАНЕТЫ}} = r_{\text{ЗЕМЛИ}} + 1 \cdot r_{\text{ЗЕМЛИ}} = 2 \cdot r_{\text{ЗЕМЛИ}}\).

Вернемся к закону всемирного тяготения \(F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\), где \(F\) - сила притяжения между двумя телами, \(G\) - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы тел, \(r\) - расстояние между телами.

Разделим эту формулу на массу падающего тела \(m\), чтобы выразить ускорение свободного падения \(a\): \(a = \frac{{G \cdot m_2}}{{r^2}}\).

Подставив значения для массы и радиуса планеты, получим:

\[a_{\text{ПЛАНЕТЫ}} = \frac{{G \cdot (3 \cdot m_{\text{ЗЕМЛИ}})}}{{(2 \cdot r_{\text{ЗЕМЛИ}})^2}}\]

\[a_{\text{ПЛАНЕТЫ}} = \frac{{G \cdot 3 \cdot m_{\text{ЗЕМЛИ}}}}{{4 \cdot r_{\text{ЗЕМЛИ}}^2}}\]

Для удобства заменим \(G \cdot 3\) на новую постоянную \(G"\): \(G" = G \cdot 3\).

Теперь получим:

\[a_{\text{ПЛАНЕТЫ}} = \frac{{G" \cdot m_{\text{ЗЕМЛИ}}}}{{4 \cdot r_{\text{ЗЕМЛИ}}^2}}\]

Поделим это выражение на \(g_{\text{ЗЕМЛИ}}\), чтобы найти, во сколько раз ускорение свободного падения на планете больше, чем на Земле:

\[\frac{{a_{\text{ПЛАНЕТЫ}}}}{{g_{\text{ЗЕМЛИ}}}} = \frac{{\frac{{G" \cdot m_{\text{ЗЕМЛИ}}}}{{4 \cdot r_{\text{ЗЕМЛИ}}^2}}}}{{g_{\text{ЗЕМЛИ}}}}\]

Отсюда получим:

\[\frac{{a_{\text{ПЛАНЕТЫ}}}}{{g_{\text{ЗЕМЛИ}}}} = \frac{{G" \cdot m_{\text{ЗЕМЛИ}}}}{{4 \cdot r_{\text{ЗЕМЛИ}}^2 \cdot g_{\text{ЗЕМЛИ}}}} = \frac{{G" \cdot m_{\text{ЗЕМЛИ}}}}{{4 \cdot r_{\text{ЗЕМЛИ}} \cdot r_{\text{ЗЕМЛИ}} \cdot g_{\text{ЗЕМЛИ}}}}\]

Теперь заменим \(G" \cdot m_{\text{ЗЕМЛИ}}\) на новую постоянную \(A\): \(A = G" \cdot m_{\text{ЗЕМЛИ}}\).

Получаем:

\[\frac{{a_{\text{ПЛАНЕТЫ}}}}{{g_{\text{ЗЕМЛИ}}}} = \frac{{A}}{{4 \cdot r_{\text{ЗЕМЛИ}} \cdot r_{\text{ЗЕМЛИ}} \cdot g_{\text{ЗЕМЛИ}}}}\]

Сократим выражение:

\[\frac{{a_{\text{ПЛАНЕТЫ}}}}{{g_{\text{ЗЕМЛИ}}}} = \frac{{A}}{{4 \cdot g_{\text{ЗЕМЛИ}} \cdot r_{\text{ЗЕМЛИ}}^2}}\]

Таким образом, ускорение свободного падения на планете будет равно:

\[a_{\text{ПЛАНЕТЫ}} = \frac{{A}}{{4 \cdot g_{\text{ЗЕМЛИ}} \cdot r_{\text{ЗЕМЛИ}}^2}} \cdot g_{\text{ЗЕМЛИ}}\]

Заменим значения постоянной \(A\) и ускорения свободного падения на Земле \(g_{\text{ЗЕМЛИ}}\):

\[a_{\text{ПЛАНЕТЫ}} = \frac{{G" \cdot m_{\text{ЗЕМЛИ}}}}{{4 \cdot r_{\text{ЗЕМЛИ}} \cdot r_{\text{ЗЕМЛИ}} \cdot g_{\text{ЗЕМЛИ}}}} \cdot g_{\text{ЗЕМЛИ}}\]

Таким образом, мы получаем, что ускорение свободного падения на планете будет равно:

\[a_{\text{ПЛАНЕТЫ}} = G" \cdot m_{\text{ЗЕМЛИ}} \cdot \frac{{g_{\text{ЗЕМЛИ}}}}{{4 \cdot r_{\text{ЗЕМЛИ}} \cdot r_{\text{ЗЕМЛИ}}}}\]

Если мы рассмотрим \(G" \cdot \frac{{g_{\text{ЗЕМЛИ}}}}{{4 \cdot r_{\text{ЗЕМЛИ}} \cdot r_{\text{ЗЕМЛИ}}}}\) как новую константу \(C\), то получим более простую формулу для ускорения свободного падения на планете:

\[a_{\text{ПЛАНЕТЫ}} = C \cdot m_{\text{ЗЕМЛИ}}\]

Таким образом, мы доказали, что ускорение свободного падения на планете будет пропорционально массе Земли.