Каково уравнение прямой, проходящей через точку M(3, 2, -1) и пересекающей ось OX под прямым углом?

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку M(3, 2, -1) и пересекающей ось OX под прямым углом, мы можем использовать следующий метод:

Шаг 1: Найдите направляющий вектор прямой.
Для этого возьмем две точки - точку M(3, 2, -1) и точку на оси OX, скажем, точку A(х, 0, 0).

Направляющий вектор задается разностью координат двух точек: \(\vec{MA}\). Тогда

\(\vec{MA} = \begin{bmatrix} x - 3 \\ 0 - 2 \\ 0 - (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x - 3 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}\)

Шаг 2: Найдите направляющий вектор для оси OX.
Ось OX можно представить в виде точки и направляющего вектора. Так как она параллельна оси OY и оси OZ, направляющий вектор для оси OX будет \(\vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\).

Шаг 3: Найдите перпендикулярное (ортогональное) проекцию вектора \(\vec{MA}\) на вектор \(\vec{a}\).
Перпендикулярная проекция вектора \(\vec{MA}\) на вектор \(\vec{a}\) вычисляется как:
\(\vec{p} = \frac{\vec{MA} \cdot \vec{a}}{\|\vec{a}\|^2} \cdot \vec{a}\), где \(\cdot\) обозначает скалярное произведение векторов, а \(\|\vec{a}\|\) - норма (длина) вектора \(\vec{a}\).

Вычислим это:

\(\vec{MA} \cdot \vec{a} = \begin{bmatrix} x - 3 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = (x - 3) \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 1 \cdot 0 = x - 3\)

\(\|\vec{a}\|^2 = \left\| \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right\|^2 = 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1\)

Теперь вычислим перпендикулярную проекцию:

\(\vec{p} = \frac{x - 3}{1} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x - 3 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)

Шаг 4: Найдите конечную точку, через которую проходит искомая прямая.
Она будет являться проекцией точки M(3, 2, -1) на ось OX, поскольку прямая должна пересекать ось OX под прямым углом.

Конечная точка будет равна сумме точки M и перпендикулярной проекции \(\vec{p}\):
\(M" = M + \vec{p} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x - 3 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 + x - 3 \\ 2 + 0 \\ -1 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}\)

Таким образом, мы получаем конечную точку прямой \(M"\), через которую проходит искомая прямая.

Уравнение прямой принимает следующий формат:
\[
\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}
\]
где \(x_0\), \(y_0\), \(z_0\) - координаты точки M", а \(a\), \(b\), \(c\) - направляющие коэффициенты прямой, которые можно получить из направляющего вектора \(\vec{MA}\).

В нашем случае уравнение прямой будет:
\[
\frac{x - x}{x - 3} = \frac{y - 2}{0} = \frac{z - (-1)}{0}
\]

Упрощая это уравнение:
\[
\frac{x - x}{x - 3} = 0
\]

Поскольку знаменатель равен нулю, то уравнение прямой можно записать в следующем виде:
\(x - 3 = 0\)

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M(3, 2, -1) и пересекающей ось OX под прямым углом, будет \(x - 3 = 0\).