Каково уравнение окружности, представленное в виде x-6 2+ y+8?

Уравнение окружности обычно имеет вид \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\), где \((a,b)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус окружности.

Если дано уравнение вида \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\), где \(D\) и \(E\) - коэффициенты при \(x\) и \(y\), а \(F\) - свободный член, то оно может быть приведено к общему виду окружности путем завершения квадратов.

Давайте выполним этот шаг за шагом.

У нас дано уравнение окружности \(x^2 - 12x + y^2 + 16y = 0\).

1. Заметим, что коэффициент при \(x\) равен -12, а при \(y\) равен 16. Мы хотим завершить квадрат для каждой переменной, поэтому нам нужно добавить определенные значения, чтобы преобразовать коэффициенты.

2. Чтобы завершить квадрат для \(x\), мы добавим к обеим сторонам уравнения квадрат половины коэффициента при \(x\), а затем вычтем квадрат этой половины. Получаем:

\(x^2 - 12x + (\frac{12}{2})^2 + y^2 + 16y = (\frac{12}{2})^2\).

Упростим это выражение:

\(x^2 - 12x + 36 + y^2 + 16y = 36\).

3. Аналогично, завершим квадрат для \(y\) путем добавления к обеим сторонам уравнения квадрат половины коэффициента при \(y\) и вычитании квадрата этой половины. Получим:

\(x^2 - 12x + 36 + y^2 + 16y + (\frac{16}{2})^2 = 36 + (\frac{16}{2})^2\).

Упростим:

\(x^2 - 12x + 36 + y^2 + 16y + 64 = 36 + 64\).

4. Далее, объединим слагаемые справа:

\(x^2 - 12x + y^2 + 16y + 100 = 100\).

5. И наконец, перенесем 100 на правую сторону:

\(x^2 - 12x + y^2 + 16y - (100 - 100) = 0\).

Упростим:

\(x^2 - 12x + y^2 + 16y - 0 = 0\).

Теперь у нас имеется уравнение окружности в общем виде:

\(x^2 - 12x + y^2 + 16y = 0\).

Мы можем определить координаты центра и радиус окружности, сравнивая данное уравнение с общим видом окружности:
\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\).

Из данного уравнения мы видим, что \(a = 6\) и \(b = -8\), так как \(-12 = -2a\) и \(16 = 2b\).

Также, мы видим, что радиус окружности равен \(r = 0\), так как свободный член в уравнении равен 0.

Таким образом, уравнение окружности, представленное в виде \(x^2 - 12x + y^2 + 16y = 0\), определяет окружность с центром в точке (6, -8) и радиусом 0. Это означает, что это точка, а не окружность.