Каково уравнение геометрического места точек, которые имеют одинаковое расстояние от концов отрезка АВ, если А(-3;6

Чтобы найти уравнение геометрического места точек, которые имеют одинаковое расстояние от концов отрезка AB, нам понадобится найти середину этого отрезка и его длину.

Сначала найдем середину отрезка AB. Для этого нужно найти среднее значение координат x и y конечных точек A и B.

Координата x середины отрезка AB будет равна:

\[
x_{\text{середины}} = \frac{{x_A + x_B}}{2}
\]

Подставив значения координат A и B, получаем:

\[
x_{\text{середины}} = \frac{{-3 + 4}}{2} = \frac{1}{2}
\]

Координата y середины отрезка AB будет равна:

\[
y_{\text{середины}} = \frac{{y_A + y_B}}{2}
\]

Подставив значения координат A и B, получаем:

\[
y_{\text{середины}} = \frac{{6 + (-1)}}{2} = \frac{5}{2}
\]

Таким образом, середина отрезка AB имеет координаты \(\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)\).

Далее, нам нужно найти длину отрезка AB. Для этого мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками на плоскости:

\[
d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}
\]

Применяя эту формулу к точкам A(-3, 6) и B(4, -1), получаем:

\[
d = \sqrt{{(4 - (-3))^2 + ((-1) - 6)^2}} = \sqrt{{7^2 + (-7)^2}} = \sqrt{{49 + 49}} = \sqrt{{98}} = 7\sqrt{{2}}
\]

Теперь, чтобы найти уравнение геометрического места точек, мы знаем, что все точки этого места должны иметь одинаковое расстояние как от точки A, так и от точки B. Из этого следует, что расстояние от любой точки этого места до A должно быть равно расстоянию от этой точки до B.

Используем формулу для расстояния между двумя точками на плоскости:

\[
d_{\text{от точки до A}} = \sqrt{{(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2}}
\]

и

\[
d_{\text{от точки до B}} = \sqrt{{(x - x_B)^2 + (y - y_B)^2}}
\]

Подставим значения координат A(-3, 6) и B(4, -1) в эти формулы:

\[
\sqrt{{(x - (-3))^2 + (y - 6)^2}} = \sqrt{{(x - 4)^2 + (y - (-1))^2}}
\]

Упростим это уравнение:

\[
\sqrt{{(x + 3)^2 + (y - 6)^2}} = \sqrt{{(x - 4)^2 + (y + 1)^2}}
\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[
(x + 3)^2 + (y - 6)^2 = (x - 4)^2 + (y + 1)^2
\]

Раскроем скобки:

\[
x^2 + 6x + 9 + y^2 - 12y + 36 = x^2 - 8x + 16 + y^2 + 2y + 1
\]

Сократим подобные слагаемые:

\[
6x + 9 - 12y + 36 = -8x + 16 + 2y + 1
\]

\[
6x - 12y + 45 = -8x + 2y + 17
\]

Перенесем все переменные на одну сторону уравнения:

\[
6x + 8x + 12y - 2y = 17 - 45
\]

\[
14x + 10y = -28
\]

Таким образом, уравнение геометрического места точек, которые имеют одинаковое расстояние от концов отрезка AB, является \(14x + 10y = -28\).