Каково уравнение геометрического места точек, которые имеют одинаковое расстояние от концов отрезка АВ, если А(-3;6

Чтобы найти уравнение геометрического места точек, которые имеют одинаковое расстояние от концов отрезка AB, нам понадобится найти середину этого отрезка и его длину.

Сначала найдем середину отрезка AB. Для этого нужно найти среднее значение координат x и y конечных точек A и B.

Координата x середины отрезка AB будет равна:

$$x_{\text{середины}}=\frac{x_A+x_B}{2}$$

Подставив значения координат A и B, получаем:

$$x_{\text{середины}}=\frac{-3+4}{2}=\frac{1}{2}$$

Координата y середины отрезка AB будет равна:

$$y_{\text{середины}}=\frac{y_A+y_B}{2}$$

Подставив значения координат A и B, получаем:

$$y_{\text{середины}}=\frac{6+(-1)}{2}=\frac{5}{2}$$

Таким образом, середина отрезка AB имеет координаты $(\frac{1}{2},\frac{5}{2})$.

Далее, нам нужно найти длину отрезка AB. Для этого мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками на плоскости:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

Применяя эту формулу к точкам A(-3, 6) и B(4, -1), получаем:

$$d=\sqrt{(4-(-3){)}^2+((-1)-6{)}^2}=\sqrt{7^2+(-7{)}^2}=\sqrt{49+49}=\sqrt{98}=7\sqrt{2}$$

Теперь, чтобы найти уравнение геометрического места точек, мы знаем, что все точки этого места должны иметь одинаковое расстояние как от точки A, так и от точки B. Из этого следует, что расстояние от любой точки этого места до A должно быть равно расстоянию от этой точки до B.

Используем формулу для расстояния между двумя точками на плоскости:

$$d_{\text{от точки до A}}=\sqrt{(x-x_A{)}^2+(y-y_A{)}^2}$$

и

$$d_{\text{от точки до B}}=\sqrt{(x-x_B{)}^2+(y-y_B{)}^2}$$

Подставим значения координат A(-3, 6) и B(4, -1) в эти формулы:

$$\sqrt{(x-(-3){)}^2+(y-6{)}^2}=\sqrt{(x-4{)}^2+(y-(-1){)}^2}$$

Упростим это уравнение:

$$\sqrt{(x+3{)}^2+(y-6{)}^2}=\sqrt{(x-4{)}^2+(y+1{)}^2}$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$(x+3{)}^2+(y-6{)}^2=(x-4{)}^2+(y+1{)}^2$$

Раскроем скобки:

$$x^2+6x+9+y^2-12y+36=x^2-8x+16+y^2+2y+1$$

Сократим подобные слагаемые:

$$6x+9-12y+36=-8x+16+2y+1$$

$$6x-12y+45=-8x+2y+17$$

Перенесем все переменные на одну сторону уравнения:

$$6x+8x+12y-2y=17-45$$

$$14x+10y=-28$$

Таким образом, уравнение геометрического места точек, которые имеют одинаковое расстояние от концов отрезка AB, является $14x+10y=-28$.