Каково угловое ускорение блока, когда два одинаковых груза массой 0,5 кг каждый связаны нитью, перекинутой через блок

Определение углового ускорения блока, связанного с движением грузов, можно рассмотреть с помощью второго закона Ньютона для вращения. По этому закону, момент силы равен угловому ускорению, умноженному на момент инерции.

Момент инерции сплошного диска можно выразить через его массу и радиус, используя следующую формулу:

\[I = \frac{1}{2}mr^2\]

где \(I\) - момент инерции, \(m\) - масса блока, \(r\) - радиус блока.

В данной задаче, масса блока \(m\) равна 1 кг, а радиус блока \(r\) составляет 0,2 м, следовательно:

\[I = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (0,2)^2 = 0,02 \ кг \cdot м^2\]

Затем, необходимо рассмотреть силы, действующие на грузы и блок. Гравитационная сила, действующая на каждый груз, равна его массе, умноженной на ускорение свободного падения \(g\):

\[F_1 = m_1 \cdot g = 0,5 \cdot 9,8 = 4,9 \ Н\]
\[F_2 = m_2 \cdot g = 0,5 \cdot 9,8 = 4,9 \ Н\]

где \(m_1\) и \(m_2\) - массы грузов, равные 0,5 кг каждому, \(g\) - ускорение свободного падения, примерно равное 9,8 м/с².

Также, нужно учесть силу трения между грузом \(m_2\) и столом. Формула для силы трения имеет вид:

\[f_{тр} = \mu \cdot F_N\]

где \(f_{тр}\) - сила трения, \(\mu\) - коэффициент трения, \(F_N\) - нормальная сила, действующая перпендикулярно поверхности.

Нормальная сила равна силе реакции опоры и направлена вверх, и в данном случае она равна сумме двух гравитационных сил:

\[F_N = F_1 + F_2 = 4,9 + 4,9 = 9,8 \ Н\]

Теперь можно рассчитать силу трения:

\[f_{тр} = 0,2 \cdot 9,8 = 1,96 \ Н\]

Наконец, можно приступить к решению задачи о движении блока. Составим уравнение вращательного движения для блока:

\[T - f_{тр} \cdot r = I \cdot \alpha\]

где \(T\) - момент силы натяжения нити (или тяги), \(f_{тр}\) - сила трения, \(r\) - радиус блока, \(I\) - момент инерции блока, \(\alpha\) - угловое ускорение блока.

Поскольку каждый груз имеет одно и то же ускорение, их ускорения натяжения нити также равны и направлены в одном направлении. То есть, момент силы натяжения нити \(T\) равен силе натяжения \(F_1\), которая равна силе \(m_1 \cdot a\), где \(a\) - линейное ускорение грузов.

Но, в данном случае, линейное ускорение \(a\) грузов также равно радиусу блока умноженному на угловое ускорение \(\alpha\) (линейное ускорение равно произведению радиуса на угловое ускорение), поэтому \(a = r \cdot \alpha\).

Таким образом, момент силы натяжения нити \(T\) равен \(m_1 \cdot r \cdot \alpha\). Подставив это значение и соответствующие значения в уравнение вращательного движения для блока, получаем:

\[m_1 \cdot r \cdot \alpha - f_{тр} \cdot r = I \cdot \alpha\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно углового ускорения \(\alpha\):

\[m_1 \cdot r \cdot \alpha - f_{тр} \cdot r = I \cdot \alpha\]
\[m_1 \cdot r \cdot \alpha - f_{тр} \cdot r = 0,02 \cdot \alpha\]
\[0,5 \cdot 0,2 \cdot \alpha - 1,96 \cdot 0,2 = 0,02 \cdot \alpha\]
\[0,1 \cdot \alpha - 0,392 = 0,02 \cdot \alpha\]
\[0,1 \cdot \alpha - 0,02 \cdot \alpha = 0,392\]
\[0,08 \cdot \alpha = 0,392\]
\[\alpha = \frac{0,392}{0,08} = 4,9 \ рад/с^2\]

Таким образом, угловое ускорение блока составляет 4,9 рад/с².