Каково тангенциальное и полное ускорение точек на окружности диска через 4 секунды, если диск радиусом 0,5 м вращается

Для начала, найдем значение функции \(\varphi\) в момент времени \(t = 4\) секунды:

\[\varphi = A + Bt + Ct^3\]

Подставим значения \(A = 1\) рад, \(B = -2\) рад/с и \(C = 0.3\) рад/с\(^2\):

\[\varphi = 1 + (-2) \cdot 4 + 0.3 \cdot 4^3\]

Вычислим это выражение:

\[\varphi = 1 - 8 + 0.3 \cdot 64 = 1 - 8 + 19.2 = 12.2\]

Таким образом, в момент времени \(t = 4\) секунды значение угла \(\varphi\) равно 12.2 рад.

Для нахождения тангенциального ускорения (\(a_t\)) в данном случае мы должны дифференцировать функцию \(\varphi\) дважды по времени \(t\).

\[\text{Получим функцию для скорости: } v = \frac{d\varphi}{dt}\]

Дифференцируем по \(t\) функцию \(\varphi\) и получаем:

\[v = \frac{d\varphi}{dt} = \frac{d}{dt}(A + Bt + Ct^3) = B + 3Ct^2\]

Подставим значения \(B = -2\) рад/с и \(C = 0.3\) рад/с\(^2\):

\[v = -2 + 3 \cdot 0.3 \cdot 4^2 = -2 + 3 \cdot 0.3 \cdot 16 = -2 + 14.4 = 12.4\]

Тангенциальное ускорение \(a_t\) определяется как производная скорости по времени:

\[a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(B + 3Ct^2) = 6Ct = 6 \cdot 0.3 \cdot 4 = 7.2\]

Таким образом, тангенциальное ускорение на окружности диска через 4 секунды составляет 7.2 рад/с\(^2\).

Чтобы визуализировать векторы скоростей и ускорений в указанный момент времени, предположим, что диск вращается в горизонтальной плоскости, и векторы будут направлены по радиусу окружности.

- Вектор скорости будет направлен по касательной к окружности в данной точке. Длина вектора скорости будет определяться значением скорости \(v\) в данной точке.

- Вектор ускорения будет направлен по касательной к окружности в данной точке. Длина вектора ускорения будет определяться значением ускорения \(a_t\) в данной точке.

Таким образом, в момент времени \(t = 4\) секунды, вектор скорости будет иметь длину 12.4 рад/с и будет направлен по касательной к окружности. Вектор ускорения будет иметь длину 7.2 рад/с\(^2\) и также будет направлен по касательной к окружности.

Мы можем представить эти векторы на рисунке, например, с помощью векторных диаграмм или соответствующих радиусов.