Каково среднее значение напряженности внутри круглой площадки с радиусом 12 см, когда находится заряд 1 мкКл

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать закон Кулона, который гласит, что величина электрической силы \( F \), с которой заряд \( q_1 \) действует на заряд \( q_2 \), прямо пропорциональна произведению этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

\[ F = \frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{{r^2}} \]

где:

\( F \) - электрическая сила,
\( k \) - постоянная Кулона (\( k \approx 9 \times 10^9 \, \text{Н}\cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \)),
\( q_1, q_2 \) - заряды,
\( r \) - расстояние.

В данной задаче, у нас есть заряд \( q_1 = 1 \, \mu\text{Кл} \) и расстояние \( r = 20 \, \text{см} = 0.2 \, \text{м} \). Нас интересует напряженность (\( E \)), которая равна электрической силе (\( F \)), действующей на заряд \( q \), деленной на величину заряда \( q \):

\[ E = \frac{F}{q} \]

В нашем случае, \( q = 1 \, \mu\text{Кл} \) (заряд площадки). Также, чтобы найти напряженность внутри круглой площадки, нужно использовать формулу для напряженности в точке на оси, проходящей через центр круглой площадки:

\[ E = \frac{{k \cdot q}}{{r^2}} \]

Но нам необходимо найти среднее значение напряженности внутри круглой площадки, то есть найти усредненное значение напряженности по всей поверхности круга.

Таким образом, чтобы найти среднее значение напряженности внутри круглой площадки, нужно усреднить значения напряженности на различных точках по всей поверхности круга.

Мы можем представить круглую площадку нарезанным сеткой, состоящей из бесконечного количества маленьких элементов поверхности. Каждый элемент поверхности будет иметь свою площадь \( \delta A \). Затем мы должны найти напряженность в каждом элементе поверхности, используя электрическую силу \( \delta F \), действующую на этот элемент поверхности, и делить эти силы на величину заряда \( q \), находящегося на расстоянии \( r \) от этого элемента поверхности. После этого нам нужно усреднить все эти значения напряженности для всех элементов поверхности круга, чтобы получить среднее значение напряженности внутри круглой площадки.

Итак, общая формула для нахождения среднего значения напряженности \( E_{\text{ср}} \) внутри круглой площадки:

\[ E_{\text{ср}} = \frac{1}{A} \int\int_S \frac{{k \cdot q}}{{r^2}} \cdot \delta A \]

где:

\( A \) - площадь поверхности круга,
\( \delta A \) - площадь каждого элемента поверхности.

В нашем случае, площадь поверхности круглой площадки равна площади круга с радиусом 12 см (0.12 м):

\[ A = \pi \cdot (0.12 \, \text{м})^2 \]

Теперь мы можем найти среднее значение напряженности. Для этого вычислим интеграл от \( \frac{{k \cdot q}}{{r^2}} \cdot \delta A \) по поверхности круга и поделим его на площадь поверхности круга.

Зная, что \( \delta A = r \cdot \delta \theta \cdot \delta r \), где \( \delta \theta \) - дифференциал угла, а \( \delta r \) - дифференциал радиуса, мы можем переписать формулу для \( E_{\text{ср}} \) следующим образом:

\[ E_{\text{ср}} = \frac{1}{A} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{r} \frac{{k \cdot q}}{{r^2}} \cdot r \, \delta \theta \, \delta r \]

Для упрощения вычислений, мы можем сократить некоторые элементы формулы:

\[ E_{\text{ср}} = \frac{1}{A} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{r} \frac{{k \cdot q}}{{r}} \, \delta \theta \, \delta r \]

Теперь выполняем интегрирование:

\[ E_{\text{ср}} = \frac{1}{A} \int_{0}^{2\pi} \ln(r) \, \delta \theta \]

\[ E_{\text{ср}} = \frac{1}{A} \cdot 2\pi \cdot \ln(r) \]

\[ E_{\text{ср}} = \frac{2\pi}{A} \cdot \ln(r) \]

Теперь подставим значения для \( A \) и \( r \) и вычислим \( E_{\text{ср}} \):

\[ E_{\text{ср}} = \frac{2\pi}{\pi \cdot (0.12 \, \text{м})^2} \cdot \ln(0.2 \, \text{м}) \]

\[ E_{\text{ср}} = \frac{2}{0.12^2} \cdot \ln(0.2) \]

\[ E_{\text{ср}} \approx 2190.7 \, \text{Н/Кл} \]

Таким образом, среднее значение напряженности внутри круглой площадки с радиусом 12 см, когда находится заряд 1 мкКл на расстоянии 20 см от ее краев, составляет примерно 2190.7 Н/Кл.