Каково среднее количество изделий высшего качества из четырех изготовленных, если отклонение размеров изделий

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать знания о нормальном распределении.

Среднее количество изделий высшего качества можно определить, зная вероятность того, что отклонение размера изделий от номинала не превышает заданную величину, в данном случае - 3,45 мм.

Вероятность данного события можно найти с помощью функции распределения нормального закона. Представим данную величину в стандартных единицах с помощью стандартизации:

\[ z = \frac{x - \mu}{\sigma} \]

где \( x \) - отклонение размера изготовленного изделия от номинала, \( \mu \) - математическое ожидание номинала (равное 0 в данной задаче), \( \sigma \) - среднеквадратическое отклонение (в данном случае 3 мм).

Для нахождения вероятности \( P(z \leq 3,45) \), мы можем использовать таблицу значений функции распределения нормального закона (таблицу Лапласа) или стандартное нормальное распределение \( \Phi(z) \).

Значение функции распределения в точке \( z \) (обозначаемое \( \Phi(z) \)) показывает вероятность того, что значения случайной величины в данной точке или ниже не превышают данного значения.

Теперь рассмотрим значения Ф(1) = 0.3413 и Ф(3) = 0.4987. Эти значения представляют собой вероятности \( P(z \leq 1) \) и \( P(z \leq 3) \) соответственно и могут быть найдены с использованием таблицы Лапласа или стандартного нормального распределения.

Вероятность \( P(z \leq 1) \) означает, что отклонение размера изделия от номинала не превышает 1 стандартное отклонение. Из таблицы Лапласа или стандартного нормального распределения, мы можем найти, что \( P(z \leq 1) \approx 0.3413 \).

Аналогично, вероятность \( P(z \leq 3) \) означает, что отклонение размера изделия от номинала не превышает 3 стандартных отклонения. Мы можем найти, что \( P(z \leq 3) \approx 0.4987 \).

Теперь, используя эти значения, мы можем найти вероятность того, что отклонение размера изделий от номинала не превышает 3,45 мм. Обозначим эту вероятность как \( P(x \leq 3,45) \).

\[ P(x \leq 3,45) = P(z \leq \frac{3,45}{\sigma}) \approx P(z \leq \frac{3,45}{3}) = P(z \leq 1,15) \]

Тогда, используя таблицу Лапласа или стандартное нормальное распределение, мы можем найти \( P(z \leq 1,15) \approx 0.8749 \).

Таким образом, вероятность того, что отклонение размера изделий от номинала не превышает 3,45 мм, составляет примерно 0.8749 или 87.49%.

Теперь мы можем определить среднее количество изделий высшего качества из четырех изготовленных, зная, что вероятность отклонения не превышает 3,45 мм.

Пусть \( x \) - количество изделий высшего качества из четырех изготовленных, тогда:

\[ P(x = 4) = 0.8749 \]
\[ P(x = 3) = (1 - P(x = 4)) \times P(x = 4) \]
\[ P(x = 2) = (1 - P(x = 4)) \times (1 - P(x = 3)) \times P(x = 4) \]
\[ P(x = 1) = (1 - P(x = 4)) \times (1 - P(x = 3)) \times (1 - P(x = 2)) \times P(x = 4) \]

Таким образом, среднее количество изделий высшего качества из четырех изготовленных будет:

\[ \text{Среднее количество изделий} = 4 \times P(x = 4) + 3 \times P(x = 3) + 2 \times P(x = 2) + 1 \times P(x = 1) \]

\[
\text{Среднее количество изделий} = 4 \times 0.8749 + 3 \times ((1 - 0.8749) \times 0.8749) + 2 \times ((1 - 0.8749)^2 \times 0.8749) + 1 \times ((1 - 0.8749)^3 \times 0.8749)
\]

Вычислив данное выражение, мы найдем среднее количество изделий высшего качества из четырех изготовленных.

Important note: The values Ф(1) = 0.3413 and Ф(3) = 0.4987 were given for additional information, but they were not used in the solution.