Каково соотношение площади боковой поверхности цилиндра к площади поверхности шара, если высота цилиндра в три раза

Давайте начнем с определения площади боковой поверхности цилиндра и площади поверхности шара.

Площадь боковой поверхности цилиндра (Sб) равна произведению окружности основания (O) на высоту цилиндра (h), и выражается формулой:
$$Sб=O\cdot h$$

Площадь поверхности шара (Sш) равна произведению числа π (пи) на квадрат радиуса окружности (R), и выражается формулой:
$$Sш=4\cdot \pi \cdot R^2$$

В задаче говорится, что высота цилиндра (h) в три раза больше диаметра его основания. Диаметр (D) можно выразить через радиус (R), умножив его на 2:
$$D=2\cdot R$$

Таким образом, высота цилиндра (h) будет равна 3D:
$$h=3\cdot D$$

Теперь, чтобы получить соотношение площади боковой поверхности цилиндра к площади поверхности шара, необходимо поделить площадь боковой поверхности цилиндра на площадь поверхности шара.

$$Соотношение=\frac{Sб}{Sш}$$

Заменяем формулы площади боковой поверхности цилиндра и площади поверхности шара:

$$Соотношение=\frac{O\cdot h}{4\cdot \pi \cdot R^2}$$

Используя определение диаметра (D) как 2R, и высоты цилиндра (h) как 3D, можем переписать формулу:

$$Соотношение=\frac{O\cdot 3D}{4\cdot \pi \cdot R^2}$$

Также, зная, что окружность основания цилиндра (O) равна длине окружности, можно выразить ее через радиус (R):

$$O=2\cdot \pi \cdot R$$

Подставляем новые значения в формулу:

$$Соотношение=\frac{2\cdot \pi \cdot R\cdot 3D}{4\cdot \pi \cdot R^2}$$

Упрощаем выражение:

$$Соотношение=\frac{6\cdot D}{4\cdot R}$$

Зная, что D = 2R, можно подставить это значение:

$$Соотношение=\frac{6\cdot 2R}{4\cdot R}$$

Упрощаем еще раз:

$$Соотношение=\frac{12R}{4R}$$

$$Соотношение=\frac{12}{4}$$

Окончательно, соотношение площади боковой поверхности цилиндра к площади поверхности шара равно 3. Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра в 3 раза больше площади поверхности шара.