Каково соотношение площади боковой поверхности цилиндра к площади поверхности шара, если высота цилиндра в три раза

Давайте начнем с определения площади боковой поверхности цилиндра и площади поверхности шара.

Площадь боковой поверхности цилиндра (Sб) равна произведению окружности основания (O) на высоту цилиндра (h), и выражается формулой:
\[Sб = O \cdot h\]

Площадь поверхности шара (Sш) равна произведению числа π (пи) на квадрат радиуса окружности (R), и выражается формулой:
\[Sш = 4 \cdot π \cdot R^2\]

В задаче говорится, что высота цилиндра (h) в три раза больше диаметра его основания. Диаметр (D) можно выразить через радиус (R), умножив его на 2:
\[D = 2 \cdot R\]

Таким образом, высота цилиндра (h) будет равна 3D:
\[h = 3 \cdot D\]

Теперь, чтобы получить соотношение площади боковой поверхности цилиндра к площади поверхности шара, необходимо поделить площадь боковой поверхности цилиндра на площадь поверхности шара.

\[Соотношение = \frac{Sб}{Sш}\]

Заменяем формулы площади боковой поверхности цилиндра и площади поверхности шара:

\[Соотношение = \frac{O \cdot h}{4 \cdot π \cdot R^2}\]

Используя определение диаметра (D) как 2R, и высоты цилиндра (h) как 3D, можем переписать формулу:

\[Соотношение = \frac{O \cdot 3D}{4 \cdot π \cdot R^2}\]

Также, зная, что окружность основания цилиндра (O) равна длине окружности, можно выразить ее через радиус (R):

\[O = 2 \cdot π \cdot R\]

Подставляем новые значения в формулу:

\[Соотношение = \frac{2 \cdot π \cdot R \cdot 3D}{4 \cdot π \cdot R^2}\]

Упрощаем выражение:

\[Соотношение = \frac{6 \cdot D}{4 \cdot R}\]

Зная, что D = 2R, можно подставить это значение:

\[Соотношение = \frac{6 \cdot 2R}{4 \cdot R}\]

Упрощаем еще раз:

\[Соотношение = \frac{12R}{4R}\]

\[Соотношение = \frac{12}{4}\]

Окончательно, соотношение площади боковой поверхности цилиндра к площади поверхности шара равно 3. Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра в 3 раза больше площади поверхности шара.