Каково соотношение объемов большей и меньшей пирамиды, если высота пирамиды равна 7см и она пересекается плоскостью

Проблема подразумевает наличие двух пирамид – большей и меньшей, они обе пересекаются параллельно основанию на расстоянии wсм от основания. Нам нужно найти соотношение между объемами этих двух пирамид.

Давайте начнем с определения формулы для объема пирамиды. Объем пирамиды можно вычислить, умножив площадь основания на высоту и разделив результат на 3. Формула выглядит следующим образом:

\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{{основания}}} \times h\]

Где V – объем пирамиды, \(S_{\text{{основания}}}\) – площадь основания, а h – высота пирамиды.

У нас есть две пирамиды с одинаковой высотой, но различающимися площадями основания. Обозначим площадь основания большей пирамиды как \(S_{\text{{б}}}\), а меньшей пирамиды – как \(S_{\text{{м}}}\). Таким образом, объем большей пирамиды будет равен:

\[V_{\text{{б}}} = \frac{1}{3} \times S_{\text{{б}}} \times 7\]

А объем меньшей пирамиды:

\[V_{\text{{м}}} = \frac{1}{3} \times S_{\text{{м}}} \times 7\]

Исследуем соотношение между этими двумя объемами. Для этого разделим объем большей пирамиды на объем меньшей пирамиды:

\[\frac{V_{\text{{б}}}}{V_{\text{{м}}}} = \frac{\frac{1}{3} \times S_{\text{{б}}} \times 7}{\frac{1}{3} \times S_{\text{{м}}} \times 7}\]

Заметим, что коэффициент 7 сократится в числителе и знаменателе. Получим следующее соотношение:

\[\frac{V_{\text{{б}}}}{V_{\text{{м}}}} = \frac{S_{\text{{б}}}}{S_{\text{{м}}}}\]

То есть соотношение объемов большей и меньшей пирамид равно соотношению площадей их оснований.

Теперь вернемся к исходной задаче о пирамидах, пересекающихся плоскостью, параллельной основанию на расстоянии wсм от него. Подобные пирамиды сохраняют свои формы, только изменяется масштаб. Таким образом, площади соответствующих оснований большей и меньшей пирамид также будут подобными, и их соотношение будет равно соотношению квадратов длин сторон оснований.

Используя эту информацию, мы можем сформулировать ответ на задачу:

Соотношение объемов большей и меньшей пирамид при пересечении плоскостью, параллельной основанию на расстоянии wсм от него, равно соотношению площадей их оснований, которое в свою очередь равно соотношению квадратов длин сторон оснований.

\noindent Таким образом, математически это выражается следующим образом:

\[\frac{V_{\text{{б}}}}{V_{\text{{м}}}} = \frac{S_{\text{{б}}}}{S_{\text{{м}}}} = \left(\frac{l_{\text{{б}}}}{l_{\text{{м}}}}\right)^2\]

Где \(l_{\text{{б}}}\) и \(l_{\text{{м}}}\) - длины сторон оснований большей и меньшей пирамид соответственно.