Каково соотношение объема шара и объема вписанного цилиндра в шаре радиусом 4, где высота цилиндра равна радиусу шара?

Радиус шара равен 4, и высота цилиндра также равна радиусу шара. Наша задача - найти соотношение объема шара и объема вписанного цилиндра.

Давайте начнем с выяснения формул для объема шара и объема цилиндра.

Объем шара:
Объем шара можно найти с помощью следующей формулы:
\[V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r_{шара}^3\]
где \(r_{шара}\) - радиус шара.

Объем вписанного цилиндра:
Объем цилиндра можно найти с помощью следующей формулы:
\[V_{цилиндра} = \pi r_{цилиндра}^2 h_{цилиндра}\]
где \(r_{цилиндра}\) - радиус цилиндра, а \(h_{цилиндра}\) - высота цилиндра.

В нашей задаче, высота цилиндра равна радиусу шара, то есть \(h_{цилиндра} = r_{шара}\). Подставляя это значение в формулу для объема цилиндра, получаем:
\[V_{цилиндра} = \pi r_{цилиндра}^2 r_{шара}\]

Теперь мы можем сравнить эти два объема:

\[\frac{V_{шара}}{V_{цилиндра}} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_{шара}^3}{\pi r_{цилиндра}^2 r_{шара}}\]

Мы видим, что \(\pi\) сокращается, а \(r_{шара}\) можно сократить как накой обеих дробей:

\[\frac{V_{шара}}{V_{цилиндра}} = \frac{\frac{4}{3} r_{шара}^3}{r_{цилиндра}^2 r_{шара}}\]

Теперь мы можем упростить это соотношение, сократив \(r_{шара}\):

\[\frac{V_{шара}}{V_{цилиндра}} = \frac{\frac{4}{3} r_{шара}^2}{r_{цилиндра}^2}\]

Таким образом, соотношение объема шара и объема вписанного цилиндра равно:
\[\frac{V_{шара}}{V_{цилиндра}} = \frac{\frac{4}{3} r_{шара}^2}{r_{цилиндра}^2}\]

Таким образом, мы получили конечное соотношение объемов. Ответ школьнику: соотношение объема шара и объема вписанного цилиндра равно \(\frac{\frac{4}{3} r_{шара}^2}{r_{цилиндра}^2}\).