Каково соотношение между начальной энергией, сохраненной в плоском воздушном конденсаторе, и конечной энергией, после

Для того чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые основные понятия из электростатики, такие как емкость конденсатора и работа, совершаемая внешними силами при изменении заряда на конденсаторе.

Емкость конденсатора определяется как отношение заряда $Q$ на его обкладках к напряжению $V$ между обкладками:
$$C=\frac{Q}{V}$$

Работа $W$ силы, совершаемая при перемещении заряда $Q$ между обкладками конденсатора при изменении напряжения на нем, определяется по формуле:
$$W=\frac{1}{2}C\mathrm{\Delta }{V}^2$$

Теперь давайте рассмотрим, как изменяется энергия конденсатора при его зарядке и изменении среды.

Пусть начальная энергия конденсатора $E_1$ будет равна работе, совершенной при его зарядке до начального напряжения $V_1$ с использованием начальной среды (воздуха). То есть:
$$E_1=\frac{1}{2}{C}_1{V}_1^2$$

Здесь $C_1$ - начальная емкость конденсатора, $V_1$ - начальное напряжение на конденсаторе.

После этого конденсатор отключают от источника питания и погружают в керосин, который имеет диэлектрическую проницаемость $k$. При этом емкость конденсатора изменяется, и принимает новое значение $C_2=k{C}_1$, где $k$ - диэлектрическая проницаемость керосина.

Теперь конденсатор приобретает новое напряжение $V_2$ в новой среде (керосине). Конечная энергия конденсатора $E_2$ равна работе, совершенной при его зарядке до $V_2$ с использованием керосина:
$$E_2=\frac{1}{2}{C}_2{V}_2^2=\frac{1}{2}k{C}_1{V}_2^2$$

Используя закон сохранения энергии, мы можем установить соотношение между начальной и конечной энергией конденсатора:
$$E_1=E_2$$
$$\frac{1}{2}{C}_1{V}_1^2=\frac{1}{2}k{C}_1{V}_2^2$$
$$V_1^2=k{V}_2^2$$

Отсюда мы можем найти соотношение между начальным и конечным напряжением на конденсаторе:
$$\frac{V_1}{V_2}=\sqrt{k}$$

Таким образом, соотношение между начальной энергией, сохраненной в конденсаторе, и конечной энергией, после того как конденсатор был заряжен, отключен от источника и погружен в керосин с диэлектрической проницаемостью $k$, равно $\frac{V_1}{V_2}=\sqrt{k}$.