Каково смещение точки, когда скорость равна v1 и период колебаний равен t? Величины смещения и скорости рассчитываются

Для решения этой задачи нам понадобится формула связи скорости и смещения для колебательного движения: \( v = 2\pi\nu\sqrt{A^2 - x^2} \), где \( v \) - скорость точки, \( \nu \) - частота колебаний, \( A \) - амплитуда колебаний, \( x \) - смещение точки.

Также можно использовать формулу периода колебаний: \( t = \frac{1}{\nu} \), где \( t \) - период колебаний, а \( \nu \) - частота колебаний.

Мы можем воспользоваться этими формулами, чтобы найти смещение точки. Начнем с известных данных: \( t = 1,1 \) с, \( v_1 = 6,8 \) см/с. Нам нужно найти смещение \( x_1 \).

Сначала найдем частоту колебаний \( \nu \) с помощью формулы периода колебаний:
\[ \nu = \frac{1}{t} = \frac{1}{1,1} = 0,909 \] колеб./с.

Затем, подставим известные значения \( v_1 \) и \( \nu \) в формулу скорости и решим ее относительно \( A \):
\[ v_1 = 2\pi\nu\sqrt{A^2 - x_1^2} \]
\[ 6,8 = 2\pi \cdot 0,909 \cdot \sqrt{A^2 - x_1^2} \]

Далее, используя известные данные \( x_2 = 2,3 \) см и \( v_2 = 4,4 \) см/с, мы можем использовать ту же формулу для расчета скорости при смещении \( x_2 \):
\[ v_2 = 2\pi\nu\sqrt{A^2 - x_2^2} \]
\[ 4,4 = 2\pi \cdot 0,909 \cdot \sqrt{A^2 - (2,3)^2} \]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\( A \) и \( x_1 \)). Решим их совместно.

Возведем первое уравнение в квадрат, чтобы устранить корень:
\[ (6,8)^2 = (2\pi \cdot 0,909 \cdot \sqrt{A^2 - x_1^2})^2 \]
\[ 46,24 = (2\pi \cdot 0,909)^2 \cdot (A^2 - x_1^2) \]
\[ (A^2 - x_1^2) = \frac{46,24}{(2\pi \cdot 0,909)^2} \]

Теперь выразим \( A^2 - x_1^2 \) во втором уравнении:
\[ (A^2 - (2,3)^2) = \frac{(4,4)^2}{{(2\pi \cdot 0,909)}^2} \]
\[ A^2 - (2,3)^2 = \frac{4,4^2}{{(2\pi \cdot 0,909)}^2} \]

Теперь получим систему уравнений, подставив значения в оба уравнения и избавившись от \( A \):

\[
\begin{cases}
A^2 - x_1^2 = \frac{46,24}{(2\pi \cdot 0,909)^2} \\
A^2 - (2,3)^2 = \frac{4,4^2}{{(2\pi \cdot 0,909)}^2}
\end{cases}
\]

Мы можем вычесть второе уравнение из первого, получив:
\[ x_1^2 - (2,3)^2 = \frac{46,24}{(2\pi \cdot 0,909)^2} - \frac{4,4^2}{{(2\pi \cdot 0,909)}^2} \]

Выполним вычисления:
\[ x_1^2 - 5,29 = \frac{46,24}{(2\pi \cdot 0,909)^2} - \frac{4,4^2}{{(2\pi \cdot 0,909)}^2} \]
\[ x_1^2 - 5,29 = \frac{46,24 - 4,4^2}{(2\pi \cdot 0,909)^2} \]
\[ x_1^2 - 5,29 = \frac{46,24 - 19,36}{(2\pi \cdot 0,909)^2} \]
\[ x_1^2 - 5,29 = \frac{26,88}{(2\pi \cdot 0,909)^2} \]

Теперь рассчитаем \( x_1^2 \):
\[ x_1^2 = 5,29 + \frac{26,88}{(2\pi \cdot 0,909)^2} \]
\[ x_1^2 = 5,29 + \frac{26,88}{(2\pi \cdot 0,909)^2} \]

Извлечем квадратный корень, чтобы найти \( x_1 \):
\[ x_1 = \sqrt{5,29 + \frac{26,88}{(2\pi \cdot 0,909)^2}} \]
\[ x_1 \approx 2,029 \] см

Таким образом, смещение точки \( x_1 \) составляет примерно 2,029 см.