Каково решение уравнения [tex] sqrt{2-x}+ sqrt{-x-1}= sqrt{-5x-7}[/tex]?

Хорошо, чтобы найти решение уравнения [tex]\sqrt{2-x}+\sqrt{-x-1}=\sqrt{-5x-7}[/tex], мы будем последовательно применять алгебраические операции, чтобы избавиться от корней.

Шаг 1: Сначала мы возведем оба выражения уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней. Такое возведение в квадрат обычно требует осторожности, поскольку новые решения могут появиться, и нам нужно будет проверить каждое из них в исходном уравнении. Возводим в квадрат оба выражения:

[tex](\sqrt{2-x}+\sqrt{-x-1})^2= (\sqrt{-5x-7})^2[/tex]

По формуле квадрата суммы:

[tex](2-x) + 2\sqrt{(2-x)(-x-1)} + (-x-1) = -5x - 7[/tex]

Шаг 2: Теперь нам нужно избавиться от квадратного корня. Для этого вычтем (-x-1) с обоих сторон и добавим 5x + 7:

[tex]2 - x - x - 1 + 5x + 7 = 2\sqrt{(2-x)(-x-1)}[/tex]

[tex]6x + 7 = 2\sqrt{(2-x)(-x-1)}[/tex]

Шаг 3: Возводим обе части уравнения в квадрат:

[tex](6x + 7)^2 = (2\sqrt{(2-x)(-x-1)})^2[/tex]

[tex]36x^2 + 84x + 49 = 4(2-x)(-x-1)[/tex]

[tex]36x^2 + 84x + 49 = 4(2-x)(-x-1)[/tex]

[tex]36x^2 + 84x + 49 = -4(x^2 + 3x - 2)[/tex]

Шаг 4: Упрощаем выражение:

[tex]36x^2 + 84x + 49 = -4x^2 - 12x + 8[/tex]

[tex]36x^2 + 84x + 49 + 4x^2 + 12x - 8 = 0[/tex]

[tex]40x^2 + 96x + 41 = 0[/tex]

Шаг 5: Решаем получившееся квадратное уравнение. Для этого мы можем использовать квадратное уравнение в общей форме [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], где a = 40, b = 96 и c = 41. Используя формулу дискриминанта, найдем значения x:

[tex]D = b^2 - 4ac[/tex]

[tex]D = 96^2 - 4 \cdot 40 \cdot 41[/tex]

[tex]D = 9216 - 6560[/tex]

[tex]D = 2656[/tex]

[tex]x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}[/tex]

[tex]x = \frac{-96 \pm \sqrt{2656}}{2 \cdot 40}[/tex]

[tex]x = \frac{-96 \pm 8\sqrt{41}}{80}[/tex]

Таким образом, решение уравнения [tex]\sqrt{2-x}+\sqrt{-x-1} = \sqrt{-5x-7}[/tex] имеет два значения x:

[tex]x_1 = \frac{-96 + 8\sqrt{41}}{80}[/tex]

[tex]x_2 = \frac{-96 - 8\sqrt{41}}{80}[/tex]

Однако, прежде чем считать эти ответы окончательными, необходимо проверить их, подставив их обратно в исходное уравнение, и убедиться, что они удовлетворяют его.