Каково решение уравнения √cos2x-sin5x = -2cosx?

Давайте решим это уравнение шаг за шагом.

1. Начнем с анализа выражения под корнем. У нас есть \(\sqrt{\cos^2x - \sin^5x}\). Заметим, что корень из суммы квадратов \(\cos^2x\) и \(\sin^5x\) может быть упрощен до модуля исходного выражения. Поскольку значения \(\cos^2x\) и \(\sin^5x\) всегда неотрицательны, мы можем просто убрать корень и работать с модулем.

2. В уравнении у нас остается \(\left|\cos^2x - \sin^5x\right|\). Чтобы решить это уравнение, давайте рассмотрим два случая:

* Случай 1: \(\cos^2x - \sin^5x = -2\cos x\)
* Случай 2: \(\cos^2x - \sin^5x = 2\cos x\)

3. Начнем с первого случая: \(\cos^2x - \sin^5x = -2\cos x\). Мы можем преобразовать это уравнение следующим образом:

\[\cos^2x + 2\cos x - \sin^5x = 0\]

4. Попробуем провести замену: пусть \(u = \cos x\). Тогда уравнение примет вид:

\[u^2 + 2u - \sin^5x = 0\]

5. Решим это квадратное уравнение относительно \(u\):

\[u_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4\sin^5x}}{2} = -1 \pm \sqrt{1 + \sin^5x}\]

6. Получили два решения \(u_1 = -1 + \sqrt{1 + \sin^5x}\) и \(u_2 = -1 - \sqrt{1 + \sin^5x}\). Заменим снова \(u\) на \(\cos x\):

\[\cos x = -1 + \sqrt{1 + \sin^5x} \quad \text{или} \quad \cos x = -1 - \sqrt{1 + \sin^5x}\]

7. Теперь рассмотрим второй случай: \(\cos^2x - \sin^5x = 2\cos x\). Преобразуем уравнение:

\[\cos^2x - 2\cos x - \sin^5x = 0\]

8. Проведем аналогичную замену: пусть \(u = \cos x\). Тогда получим уравнение:

\[u^2 - 2u - \sin^5x = 0\]

9. Решим это квадратное уравнение относительно \(u\):

\[u_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4\sin^5x}}{2} = 1 \pm \sqrt{1 + \sin^5x}\]

10. Получили два решения \(u_1 = 1 + \sqrt{1 + \sin^5x}\) и \(u_2 = 1 - \sqrt{1 + \sin^5x}\). Подставим это обратно в уравнение:

\[\cos x = 1 + \sqrt{1 + \sin^5x} \quad \text{или} \quad \cos x = 1 - \sqrt{1 + \sin^5x}\]

Итак, мы получили два набора решений уравнения: \(\cos x = -1 + \sqrt{1 + \sin^5x}\) и \(\cos x = -1 - \sqrt{1 + \sin^5x}\), а также \(\cos x = 1 + \sqrt{1 + \sin^5x}\) и \(\cos x = 1 - \sqrt{1 + \sin^5x}\).

Рекомендую дополнительно проверить эти значения, подставив их в исходное уравнение, чтобы убедиться в их правильности. Также стоит помнить о допустимых значениях для синуса и косинуса, чтобы избежать деления на ноль или появления комплексных чисел.