Каково решение системы неравенств x^2 – 3х – 10 > 0 и х^2 + 4х

Чтобы решить систему неравенств \(x^2 - 3x - 10 > 0\) и \(x^2 + 4x - 12 > 0\), мы должны найти значения переменной \(x\), при которых оба неравенства будут выполняться одновременно.

Давайте решим каждое неравенство по отдельности:

1. \(x^2 - 3x - 10 > 0\)
Для начала, определим, когда это квадратное уравнение равно нулю. Для этого решим уравнение \(x^2 - 3x - 10 = 0\).

Используя метод разложения на множители или квадратное уравнение, мы находим два значения для \(x: x_1 = -2\) и \(x_2 = 5\).

Теперь мы знаем, что квадратное уравнение имеет два корня: -2 и 5. Они разбивают вещественную ось на три интервала: \((- \infty, -2)\), \((-2, 5)\) и \((5, + \infty)\).

Теперь нам нужно определить знак \(x^2 - 3x - 10\) на каждом из этих интервалов. Для этого мы можем выбрать любое число из каждого интервала и подставить его в исходное неравенство.

При \(x = -3\) получаем: \((-3)^2 - 3(-3) - 10 = 18 > 0\)
При \(x = 0\) получаем: \(0^2 - 3(0) - 10 = -10 < 0\)
При \(x = 6\) получаем: \(6^2 - 3(6) - 10 = 2 > 0\)

Отсюда видно, что неравенство \(x^2 - 3x - 10 > 0\) выполняется на интервалах \((- \infty, -2)\) и \((5, + \infty)\).

2. \(x^2 + 4x - 12 > 0\)
Теперь решим второе неравенство аналогичным способом. Найдем значения переменной \(x\), при которых \(x^2 + 4x - 12 = 0\).

Решая это уравнение, мы находим два значения для \(x\): \(x_1 = -6\) и \(x_2 = 2\).

Исходя из этих значений, вещественная ось разбивается на три интервала: \((- \infty, -6)\), \((-6, 2)\) и \((2, + \infty)\).

Подстановка значений в неравенство дает:
При \(x = -7\) получаем: \((-7)^2 + 4(-7) - 12 = 71 > 0\)
При \(x = 0\) получаем: \(0^2 + 4(0) - 12 = -12 < 0\)
При \(x = 3\) получаем: \(3^2 + 4(3) - 12 = 15 > 0\)

Значит, неравенство \(x^2 + 4x - 12 > 0\) выполняется на интервалах \((- \infty, -6)\) и \((2, + \infty)\).

Теперь объединим интервалы, где выполняются оба неравенства:

Общее решение системы неравенств:
\(x < -2\) или \(x > 5\) или \(-6 < x < 2\)

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять процесс решения данной системы неравенств. Если у вас возникнут вопросы, не стесняйтесь задавать их!